华杯赛数论练习题

1、【第18届华杯赛决赛A、B卷第3题】35792222某些整数分别被，，，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是，，，，则579113579满足条件且大于1的最小整数是______.2、【第18届华杯赛决赛A卷第3题】有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个.那么这筐苹果至少有______个.3、【第18届华杯赛决赛A卷第7题】设n是小于50的自然数，那么使得4n5和7n6有大于1的公约数的所有n的可能值之和为______.4、【第18届华杯赛决赛A卷第14题】不为零的自然数n既是2010个数字和相同的自然数之和，也是2012个数字和相同的自然数之和，还是2013个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少？5、【第18届华杯赛决赛B卷第5题】有一箱苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个.那么这箱苹果至少有______个.6、【第18届华杯赛决赛B卷第8题】用“学”和“习”代表两个不同的数字，四位数“学学学学”与“习习习习”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么“学习”所能代表的两位数共有______个.7、【第18届华杯赛决赛B卷第14题】对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法:对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类.若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数.1)求三种分类的类数之和？2)说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同.8、【第18届华杯赛决赛C卷第5题】四位数abcd与cdab的和为3333，差为693，那么四位数abcd为______.9、【第18届华杯赛决赛C卷第7题】设a、b、c分别是0～9中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9.将循环小数0.abc化成最简分数后，分子有______不同情况.

10、【第18届华杯赛决赛C卷第11题】设n是小于50的自然数，求使得3n5和5n4有大于1的公约数的所有n.11、【第19届华杯赛决赛A卷第2题】在所有是20的倍数的正整数中，不超过2014并且是14的倍数的数之和是______.12、【第19届华杯赛决赛A卷第13题】从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n个数，使这n个数满足:任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的5倍.求n的最大值，并说明理由.13、【第19届华杯赛决赛B、D卷第2题】在所有是20的倍数的正整数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是______.14、【第19届华杯赛决赛B、D卷第14题】从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n个数，使这n个数满足:任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的7倍.求n的最大值，并说明理由.15、【第19届华杯赛决赛C卷第5题】设a、b、c、d、e均是自然数，并且abcde，a2b3c4d5e300，则ab的最大值为______.16、【第19届华杯赛决赛C卷第10题】把1220122013中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的，，，，2014201420142014所有分数的和是多少？17、【第19届华杯赛决赛B卷第12题】某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数.18、【第19届华杯赛决赛B卷第14题】将每个最简分数n（其中m、n为互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下:m1)将1染成红色；2)相差为1的两个数颜色不同；3)不为1的数与其倒数颜色不同.问:20132和分别染成什么颜色？2014719、【第20届华杯赛决赛B卷第4题】某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小是______.20、【第20届华杯赛决赛B卷第6题】由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是______，最小的是______.21、【第20届华杯赛决赛B卷第8题】三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么3个数之积的末尾3位数有______种可能数值.22、【第20届华杯赛决赛B卷第9题】将1234567891011的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由.23、【第20届华杯赛决赛B卷第14题】设“一家之言”，“言扬行举”，“举世皆知”，“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少？24、【第20届华杯赛决赛C卷第7题】1x3x5，这里的x表示不超过x的最大整数，则x______.225、【第20届华杯赛决赛C卷第10题】，将2015个分数，，，111

23411，化成小数，共有多少个有限小数？2015201626、【第20届华杯赛决赛C卷第11题】a、b为正整数，小数点后三位经四舍五入后，式子ab？ab1.51，求5727、【第20届华杯赛决赛C卷第12题】已知原式abcdaade，式中不同字母代表不同的数字，问四位数abcd的最大值是多少？28、【第20届华杯赛决赛D卷第5题】由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数中最大的是______.29、【第20届华杯赛决赛D卷第9题】两个自然数之和为667，它的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120，求这两个数？30、【第20届华杯赛决赛D卷第12题】当n取遍1，2，3，…，2015中的所有的数时，形如3nn3的数中能够被7整除的有多少个？31、【第20届华杯赛决赛D卷第14题】“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚”，且各个成语中四个汉字所代表的数的和都是21，则“弄”可以代表的数最大是多少？32、【第21届华杯赛决赛A、B卷第7题】如果238能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为______.33、【第21届华杯赛决赛A卷第14题】设n是正整数.若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a、b、c、d使得abcd能被20整除，则n的最小值是多少？34、【第21届华杯赛决赛B卷第12题】试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数.35、【第21届华杯赛决赛C卷第7题】n为正整数，形式为2n1的质数称为梅森数，例如：2213,2317是梅森数.最近，美国学者刷新了最大梅森数，n74207281，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数字是______.36、【第22届华杯赛决赛A、B卷第12题】使3n2不为最简分数的三位数n之和等于多少.5n137、【第22届华杯赛决赛B卷第10题】求能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数.