翁羽玲1 余平2,3
张忠占1*(】北京工业大学应用数理学院，北京，100124)(2复旦大学统计系，上海,200433; 3山西师范大学数学与计算机科学学院，临汾，041000)摘要：本文研究了带有相依误差的函数型线性回归模型的复合分位数估计问题，其中误差来自短期 相依和严平稳的线性过程.采用函数型主成分基函数对斜率函数和函数型预测变量进行展开并构造了 斜率函数的估计，在相当宽松的条件下证明了斜率函数估计的最优收敛速度.最后通过理论模拟来评
价所提出的方法，并给出了一个实际例子.关键词：函数型线性模型；复合分位数回归；短期相依；严平稳；函数型主成分分析中图分类号：0212英文引用格式： WENG Y L, YU P, ZHANG Z 乙 Composite quantile regression for functional
linear models with dependent errors [J]. Chinese J Appl Probab Statist, 2019, 35(4): 360-372. (in
Chinese)§1-引 言近年来，随着信息技术的发展，函数型数据的统计分析引起许多统计学者的关注[1-5〕.
在函数型数据分析中，函数型线性模型是对函数型数据建模最重要、简洁的一种模型.与 传统的线性回归模型不同，在函数型线性模型中，回归系数不再是固定的数值，而是函数自 变量t的函数.响应变量为实值变量的线性模型如下：Yi 二/ 0(t)Xi(t)+ ei,丿Ti = 1, 2,... ,n,(1)其中Yi为实值的随机变量，｛Xi (t) G L2(T), i = 1,2,...,n｝为零均值随机过程X (t)的独 立重复观测，0(t)为平方可积的未知函数型参数(斜率函数)，｛ei, i = 1,2,...,n｝为随机误 差变量序列且独立于｛Xi(-), i = 1,2,...,n｝.不失一般性，假定T = [0,1].Cardot等I6〕首次研究了该模型，利用函数型主成分分析方法给出斜率函数估计的依
概率收敛和几乎处处收敛的速度.Cardot等Pl利用样条方法研究了斜率函数的估计问题
并得到了估计的渐近性质.Hall和Horowitz[8〕基于函数型主成分分析和最小二乘估计方 法给出模型(1)的估计，并证明了估计量具有非参数最优收敛速度.Cai和Hall I9〕对函数国家自然科学基金项目(批准号：11771032、11501018)资助.*通讯作者，E-mail: zzhang@bjut.edu.cn.本文2017年12月18日收到，2018年8月24日收到修改稿.*第4期翁羽玲，等：带有相依误差的函数型线性模型的复合分位数估计361型线性回归模型的预测问题进行了研究，证明了预测结果的好坏取决于自变量的协方差函
数、斜率函数和函数型自变量的光滑程度，并对预测估计量收敛速度的上下限进行了详细 的讨论.Crambes等［1°〕利用带惩罚的光滑样条方法确保了斜率函数估计的存在性，并研究
了估计的大样本性质.Cai和Yuan［11〕，Yuan和Cai凹对模型⑴的统计推断提出了再生 核希尔伯特空间方法，在较弱的条件下得到了估计与预测的最优收敛速度.上述关于函数型线性模型的估计方法都是集中于均值回归，基于最小二乘法或似然方
法.如所周知，分位数回归作为均值回归分析的稳健替代被广泛地用于探索响应变量与协
变量之间的潜在关系(见文献［13,14］),尤其在响应变量条件分布具有厚尾、非对称或具有 异常观测值时得到普遍应用.但是目前利用分位数回归对函数型数据进行分析的工作还相
对较少.Cardot等［15］利用光滑样条方法对函数型非参数分位数模型进行估计，给出函数 型预测变量的收敛速度.Kato［16〕基于函数型主成分分析的方法对函数型线性分位数模型 进行估计，并给出斜率函数的收敛速度.Lu等等考虑部分函数型线性模型的分位数估
计，并给出参数部分的渐近正态性和斜率函数的收敛速度.Yu等Ml提出了更具有弹性的 变系数部分函数型分位数回归模型，并分别给出变系数函数和斜率函数的收敛速度.上述 关于函数型模型的分位数估计方法假定随机误差是独立同分布(i.i.d.)的.然而在实际问题 当中，因变量可能具有一定的相依结构，这时假定随机误差i.i.d.就不太恰当.比如，在经
济、金融问题中，许多指标具有相依性(参见第5节实例)，而某些相依性序列也会伴随分
布的厚尾性态.此时分位数回归以及复合分位数回归成为一种选择I19〕.本文考虑模型(1) 中误差来自短期相依的线性过程.具体地，假设随机误差是来自下面模型的严平稳过程：ei =
ai
l=0j i = 1, (2)其中el, l E Z为独立同分布(i.i.d.)的随机变量，ai为实数，使得ei为严平稳的.不失一般
性，假定ao = 1,且ei的中位数为0.例如：若随机误差ei〜AR(1),则有ei = 0ei—1 + ei =
l=0» ei—l.这时ai =化其自相关函数与ai =砂成正比.Zou和Yuan㈤〕指出，分位数估计的效率容易受到百分数t的特定取值的影响，复合
分位数估计方法结合多个分位数的信息，比利用单个分位数信息估计更有效.因此本文采 用复合分位数回归方法对具有(2)形式的随机误差的模型(1)进行估计，在一定的正则条 件下，得到估计的收敛速度.复合分位数估计在非参数模型或者半参数模型中的应用也取
得不少研究成果，可以参考文献［21-26］.本文后续内容结构如下：第2节介绍具有相依误差的函数型线性回归模型的复合分位
数回归估计；第3节给出正则条件和大样本性质；第4节通过随机模拟验证所提的方法在
有限样本下的表现；第5节给出一个实际例子；定理的证明放在第6节.362应用概率统计第 35 卷§2.估计方法用X (t)表示Xi(t) (i = 1, 2,...,n)的总体形式.定义X (t)的协方差函数和经验协方 差函数分别为Cx(t, s) = Cov (X(t),X(s)),
Cx(t,s) = — 土 Xi(t)Xi(s).八
1
nn i=1根据Mercer引理，Cx(t,s)和Cx(t, s)具有下面的谱分解形式：Cx(t,s)=刀入kvk(t)%(s),
k=1
g
Cx(t,s)=刀 XkC(t)Ck(s),k=1亠 g八假设入1 >入2 > ■■- > 0,入1 2入2 2…2入n+1 =…=0分别为Cx(t, s)和Cx(t, s)所对 应的特征值，｛vk｝和｛Ck｝为相应的标准正交特征函数序列.显然，｛vk｝构成L2[0,1]的一 组正交基.由Karhunen-Loeve表示定理知g
gX (t) = 士 EkVk (t),
k=1
0 (t) = 士 YiVi(t),l=1其中Ek和Yi的定义如下：Ek = [ X(t)vk(t)dt, Yi = [ 0(t)vi(t)dt.00Ek称为X(t)的第k个主成分得分，且｛Ek｝为一组不相关的随机变量，满足EEk = 0, Var (Ek) =入k.利用｛Vk｝的正交性可得m
j=1
g〈0(t),X(t)〉= £ &Yj + E &Yj,j=m+1其中m = m(n)为截断参数.其满足1 < m < n — 1,当n tx时，m tx. m的选取在 后面第4节进行详细的介绍.令0 < T1 < T2 < ■■- < TK < 1, b0k为e的Tk分位数.Vj用其估计Cj代替，根据Zou 和Yuan[20〕提出复合分位数估计的思想，则估计0(t)=刀CC(t)可以由下面的复合分位
j=1m数回归关于Yj, j = 1, 2,... ,m和bk, k = 1, 2,... ,K极小化求解得到Qn(Y, b)仝士 E pTk (Yi — bk —
k=1 i=1K n), ⑶其中 pT (u) = u[t — I (u < 0)]为分位数损失函数，Ui = (Ei1, Ei2, ... , Eim)T, Eij = (Xi, Vj〉,
b = (b1 ,b2,...,bK )T, Y = (Y1,Y2,...,Ym)T.注意到目标函数⑶由不同的分位数回归模型 混合而成.通常我们选用等距分位数点：Tk = k/(K + 1), k = 1, 2,...,K. Zou和Yuan[20〕
从参数估计效率角度曾建议取K = 19,并发现在许多情形，K 2 9即有良好的表现.同时,
在实际应用中也应注意到，随着K的增加，估计参数的个数也在增加.在第4节的模拟和 第5节的实例中，我们分别取K = 7和3.第4期翁羽玲，等：带有相依误差的函数型线性模型的复合分位数估计363§3.渐近性质下面我们给出上述复合分位数估计M-)的正则条件和渐近性质.首先，令0o(•)和Yo
分别表示0(・)和Y的真值.令F(•)和f (•)分别表示ei的边缘分布函数和密度函数，c表示 正的常数，它在不同地方可能取不同的数值.记Tn = {X1(-),X2(-),...,Xn(-)}.为了得到
复合分位数估计的渐近性质，文中需要下面正则条件.C1随机函数X⑴和得分随机变量&满足E||X||4 < X, E«4)冬c呂,j > 1.C2 存在常数 c 和 a > 1 使得 c—1i—a < 入i < ci—a，九—入i+1 > ci—a—1, i > 1.C3存在常数c和b>a/2 + 1,使得Y|冬cj—b, j > 1.C4存在常数co和某个q > 0使得E(|eo|q) < x, supfe(u) < co,其中f为e,的总体密u度函数.令q = min(2,q).假定线性过程是短相依的，即刀|ai|q/2 < x.i=ogC5 f (•)连续且存在某个正的常数c1 > 0使得
F mwtWF -1(tk )inf f (t) > c1.注记1 条件C1-C3是函数型线性模型中常见的基本条件，在实际应用中都可以满
足，具体可以参考文献［8,9,16］.具体地，条件C1是X(•)和得分&四阶矩的限制，其可以
保证以(t,s)作为Cx(t,s)估计的相合性；条件C2要求特征值间的距离不能太小从而保
证斜率函数0(t)具有可识别性；条件C3保证斜率函数相对于协方差函数C(t,s)而言充分
光滑.条件C4是相依数据的正则条件，其与文献［27］中推论3,或文献［25］中假设A1相
同.条件C5用于保证ei的t(t1 < t < tk)分位数的唯一性，具体可以参考文献［25］.定理2 假设条件C1-C5成立，若截断参数m〜n1/(a+2b),则有IIM-) — 0o(J|2 = Op(n-(2b-1)/(a+2b)).
⑷注记3 定理2的结论表明斜率函数的估计$(•)的收敛速度与文献［8,16］相同，其在
极小极大(minimax)意义下是最优的.§4.模拟研究本节我们通过数值试验研究所提出的复合分位数回归估计方法在有限样本下的实际表现.从以下模型产生数据0(t)Xi(t)dt + e.(5)对于函数型线性部分产生和文献［28］相同，即0(t) = J2sin(nt/2) + 3“sin(3nt/2), X,(t) =刀&vj(t).随机误差ei〜AR(1),即ei〜伯一1 + ei,在模拟中取© = 0.0, 0.3,0.5,0.7,
j=1 5o364应用概率统计第 35 卷分别代表独立、弱、适中、强四种自相关水平.另外在模拟中考虑在以下四种情形的£i
分布来对最小二乘估计(简记为“LS”)和本文提出的复合分位数估计(简记为“CQR”)进 行比较：(i) 6i ~ N(0,1); (ii) e ~ t(3); (iii) e ~ 标准柯西分布(简记为 “Cau(0,1)”)； (iv)
6〜0.9N(0,1) + 0.1N(0,102)(简记为“MN”).第三种随机误差代表响应变量的期望不存在 的情形.我们取 Tk = k/8, k = 1, 2,..., 7.另外需要指出的是我们采用R中“cqrReg”软件包求解复合分位数的优化问题，为了
节省空间，具体细节不在文中呈现.类似于文献［18］,采用下面的BIC准则选取截断参数m：「Kn / 八 m 八、］ ln nBIC(m) = ln ［ £ E PTk (匕—Ck — E C Eij)］ + m 莎，
k=1 i=1
j=1⑹其中C和Cj是通过(3)式中前m个特征函数极小化得到.进一步地，我们采用文献［29］中误差标准(MSE)来评价斜率函数0(•)估计的精度.MSE = 土 ［0(tk) — 0(tk)］2/N,k=1其中｛tk, k = 1, 2,..., N｝是计算C(-)函数值的等距格子点.在模拟中取格子点数N = 100.
重复模拟500次，表1给出了四种误差情形在不同样本容量下关于0(-)估计的MSE
的均值.在表1中，我们用“-”代表其值远大于别的值，省略不写.由表1以看出：⑴在
给定的分布和自相关水平Q固定下，MSE随着样本容量n的增加而减小；(ii)当误差来自 N(0,1)时，CQR估计略差于LS估计；(iii)当误差来自非正态分布时，CQR估计表现比较
稳健而LS表现比较差，特别是在柯西分布下，LS估计完全失效；(iv)在给定的分布和样本 容量n固定下，MSE随着自相关水平0的增加而增大.与误差独立时(即0 = 0的情形)相
比，短期相依随机误差情形的估计继承了上述四条主要规律，但估计效率随误差相关性的 增强而有所降低.这与常规向量自变量的情形一致.图1给出n = 400, 0 = 0.5时四种误差下0(•)的平均估计曲线.考虑在柯西误差下LS
估计失效，图1没有给出LS估计曲线.我们也画出其它样本容量下的平均估计曲线，由于 表现相似而省略.从图1我们也可以看出，本文提出的复合分位数估计表现非常好.这些结
果说明复合分位数估计对于处理函数型解释变量具有厚尾特征或者异常值的相应分析是 非常必要和可行的.§5.实例分析在本节中，我们将把本文所提出的方法应用到电量销售额数据.该数据集是美国某 住宅区的1973年1月至2015年1月(505个月)中月用电量的销售总额数据.数据可从 http://www.economagic.com下载.与文献［30］类似，我们的研究目的是预测短期电量销
售额增长率的峰值.第4期翁羽玲，等：带有相依误差的函数型线性模型的复合分位数估计365表1四种随机误差下情形的MSE误差n© == 0.0© =0.3© =0.5LS© =0.7LS0.6310.321LSCQR0.421LSCQRCQR0.5240.2440.1220.8330.4130.195CQR0.6511000.4030.2040.0960.8750.4420.2060.4300.2230.1080.9350.4790.2230.4600.2340.1140.6430.3030.1522.2870.9750.4350.7350.3260.1690.4880.2360.1171.363N(0,1)2000.2150.1010.5670.3490.1751.195400100t(3)0.1681.5372000.2610.1310.5090.2840.6980.371---0.5420.293400100Cau(0,1)---0.5971.185---2.6811.4560.707---3.8223.7791.79910.5305.3802.6922.3571.1022000.4750.2460.5050.2330.1134001000.8560.9550.4820.2375.781MN2000.2911.7202.7021.5934000.1430.9640.569(a) N(0, 1)(b) t(3)tt(c) Cau(0, 1) (d) MNtt图1在n = 400,四种随机误差情形下真实的0(t)及其估计曲线.真实曲线-实线,
LS-虚线，CQR —点线.366应用概率统计第35卷类似于文献[31],我们首先用对数差分来消除异方差和线性趋势.具体做法如下：X(t) = ln Ct — ln Ct_i, t = 2, 3,..., 505,Xn(t) = {X(12(n — 1) + t), t G [1,12]}, n = 1, 2,..., 42.其中Ct表示住宅区电量的月销售额.易见，X(t)为月度销售额增长率的对数.对于固定的 n G [0, 41],定义响应变量为览=max{X(12n + s), s G [1,12]},s即拟用每一年的销售增长率曲线预测来年电量销售增长率的最大值.首先我们考虑用最小
二乘估计拟合均值的线性模型，所得残差的直方图见图2.由此图可知，误差分布具有明显 的偏倚性.如所周知，对于这样的数据，均值模型的效率较低，甚至可能会导致误解，而分
位数回归会提供更准确的理解.因此，我们改用复合分位数回归，考虑到n不大，取K = 3, 分位数采用Tk = 0.25, 0.50, 0.75,所得中位数回归残差的自相关函数和偏相关函数如图3.Histogram of residualsResiduals图2均值线性模型残差的直方图图3表明，误差序列具有AR(4)的相依结构，故对误差序列拟合如下模型：en = a 1 en_ 1 + a2en_2 + a3en_3 + a4en_4 + en, en ~ (0,。), n = 5, 6, . . . , 41. (7)给出a的估计后，用Ljung-Box检验方法对残差序列{e”}进行自由度1至8的独立性检
验，p-值最小值为0.9152,表明已不具有相关性.联合两个模型进行预测，得到预测误差第4期翁羽玲，等：带有相依误差的函数型线性模型的复合分位数估计367Series el.hatSeries el.hatH_o<
s s 3 3—
s
H_o<
_eQ」ed§ SI
5
Lag10 155
Lag10 15图3中位回归残差序列的自相关函数和偏自相关函数绝对值的平均值为0.0326, a的估计为0.0335.相对误差(|预测误差|/观测值)的平均值为 11.7%,表明随机波动的影响不可小觑.§6.定理2的证明令 = n—(2b—1)/[2(a+2b)], wn = 5—1(y — Yo), unk = 5—1(bfc — bok), un =(如1,如2,...,
unK)T, bo = (bo1j bo2j . ..j boK)〒，An = diag(入 1j 入2j . . . j 入m), Bn = a{. . ., en— 1j en}, Fn =
{(wn,如):|| (wn, un)T| = L},其中L是一个充分大的常数.另外记ri = UJyo -
o0o(t)Xi(t)dt, Bn a{. . . j e— 1j eQj e 1j . . . j en— 1j en}j其中eQ为eo的一个独立观测.先给出如下引理.引理4 以Fi(u | Bi—1)记给定Bi—1下ei的条件分布函数，则在条件C4下土 sup ||Fi(u | gBo) — Fi(u | Bo)|| < x.i=1 u这是文献［27］中Proposition 3的特例.接下来我们将证明对于任意给定的n > 0,存在着充分大的常数L = Ln,当n充分大
时有P inf
(w”,u”)eF”Qn(Yo + 5nWn, bo + 5nUn) > Q(Yo, bo) 2 1 — n. ⑻⑻式意味着在球｛(Wn, Un) : II (wn, un)T I < L｝上至少以1 — n概率存在局部最小值点 (Wn, Un) = (5—1(7 — Yo),5—1(b — bo)),从而 Y 满足 ||7 — Yo| = Op(5n).记 Sn(wn, Un)=
Qn(Y。+ 5nwn, bo + 5nun) — Qn(Y。, bo).368应用概率统计第35卷首先我们考虑截断误差r的大小.由Cauchy-Schwarz不等式易知0o(t)Xi(t)dt — UJyo1 m
|2< 2| E〈Xi,研—vj〉Y0j| +2| E〈Xi,vj〉Y0j1 j=1
|2 | g
1
|21 j=m+1
=2A1 + 2A2.对于 A1,由条件 C1-C3, ||vj — j|2 冬 Op(n_1j2)(可参考文献[28,32]),以及 Holder
不等式可有A1 =]刀〈Xi,vj -窃Yo』< cm 刀 II® - Vj2|7oj|21j=1
| m |2
1
mj=1|W cm 士 Op(n_1j2_2b) = Op(n_(a+2bi)/(a+2b))=。戸底).j=1对于 A2, 由于E( 士〈Xi,vj〉Yoj) =0,'j=m+1
‘、
(从而可得E〈Xi,Vj〉Y0j) = E 入jW c 刀 j_(a+2b) = o(n_(a+2—)/@+2b)),
’
CXD g gj=m+1 j=m+1 j=m+1A2 = Op(n_(a+2bi)/(a+2b))=。”(址).综上，我们可得闷2 = Op (n_(a十2—1)/®+2b)) = 0”(仍).
(9)其次，我们讨论Sn(Wn, Un).首先注意E uiui = ndiag(£,》2,..., Am) = n[An + op(1)]. i=1(10)类似文献[33]中等式|r — s| — |r| = —s[I(r > 0) — I(r < 0)] +2 / [I(r W t) — I(r W 0)]dt,Jo简单计算可得pT(r — s) — pT(r) = s[I(r < 0) — t]+ / [I(r W t) — I(r W 0)]dt.
丿0(11)利用(11)式,Sn(Wn, Un)可以写成下面的形式K nSn(Wn, Un)=刀刀张口W + Unk)[I(乞 < 心 + bok) - Tk]k=1 i=1第4期翁羽玲，等：带有相依误差的函数型线性模型的复合分位数估计K n r ^n(UTwn
)369+ EE/
k=1 i=1 o[I(ei W t + ri + bok) — I(ei W r + bok)]dtK /、=Vn8n(Anwn + Bn Un) + ,(12)k=1其中nKAn = n—1/2 刀 Ui 刀[I(ei < ri + bok) — Tk],i=1 k=1nBnk = n cnk) = ± /
i=1 o52 [I(ei i=1< ri + bok) — Tk],
)Bn = (Bn1, Bn1, . . . , BnK),n 广 6n(Ujwn
[I(ei W t + ri + bok) — I(ei W r + bok)]dt.先看An.由条件C4易知f (•)有界.再由⑼式和(10)式可知:nKE(An | Tn) = n—1/2 士 Ui 士 [F(心 + bok) — Tk] = Op(1).i=1
k=1记 An1 = n—1/2 £ Ui 士 [I(ei < ri + bok) — F(心 + bok)],则i=1
nKk=1/X n KAn1 = n—1/2 士 f Ui 士 {E[I(ei < ri + bok) | l=o i=1 k=1Bi—i] — E[I(ei < ri + bok) | Bi—i—1]}.(13)由｛ei｝的平稳性知|| 士 Ui 土 {E[I(ei k=1n K E |Ui||2| 刀{E[I(ez i=1 丿 0[F(t + 心 + bok) - F(ri + bok)]dt{f(ri + bok)t[1 + 0p(1)]}dt二士 / i=1 丿 0=/(^) n〃n(厲仏 + wnAnWn)[1 + op(1)].注意到 cnk)的非负性，有 cnk) = [f(bok)/2]n^n(% + wnAnWn)[1 + 0p(1)].结合(12) 式和(16)式可得Sn(wn, un)=刀 k=1 2(心 + ^nAnWn)[1 + op(1)] + 0”(心)(冋n|| + ||un||). (17)K由(17)式可知，对于充分大的L,在Fn上Sn(Wn,如)被士 [f (bok)/2]n^n(UU + WnAnWn)k=1所控制.故(8)式成立.从而可得IIY - Yo|| = Op@n).(18)注意到函)-M2=j1帚殆II m E Y0jVj『W 2||E AjAj- E Y0jVj『+ 2|| E Y°j吋j=1 丨丨 II j=1 j=1 丨丨 II j=m+1 11i|2 II m 11 11 j=1 W E (% — Y11 j=1 i|2 11 gj=m+10j) + 4|| E Yoj(研—训| +2 E 70j=4D1 + 402 + 2D3.利用(18)式、条件C2和条件C3、{A,-}的正交性和||Vj - Aj||2 W Op(n_1j2)简单计算可得II m i|2 mii D1 = ||E (Aj—Y0j)Aj|| = E IAj—Y0j|2 = 15=1 j=1- Y0|2 = Op(§n), (19)D2 = || E Y0j(Aj —巧)『W m E II j —巧 II2 0j SYw m°p( E jY20j)=Op(n-m f j2_2b) = Op(n_1m) = Op(n_(a+2b_1)/(a+2b))=。”(仍), j=1(20)(21)03 = E yO, W c E j_2b = O(n_(2b_1)/(a+2b)) = O(§n). j=m+1 oc ocj=m+1结合(19)式到(21)式即知定理2成立.第4期翁羽玲，等：带有相依误差的函数型线性模型的复合分位数估计371参考文献[1] RAMSAY J O. When the data are functions [J]. Psychometrika, 1982, 47(4): 379-396.[2] RAMSAY J O, SILVERMAN B W. Applied Functional Data Analysis: Methods and Case Studies [M]. New York: Springer, 2002.[3] RAMSAY J O, SILVERMAN B W. Functional Data Analysis [M]. 2nd ed. New York: Springer, 2005.[4] FERRATY F, VIEU P. Nonparametric Functional Data Analysis: Theory and Practice [M]. New York: Springer, 2006.[5] HORVATH L, KOKOSZKA P. Inference for Functional Data with Applications [M]. New York: Springer, 2012.[6] CARDOT H, FERRATY F, SARDA P. Functional linear model [J]. Statist Probab Lett, 1999, 45(1): 11-22.[7] CARDOT H, FERRATY F, SARDA P. Spline estimators for the functional linear model [J]. Statist Sinica, 2003, 13(3): 571-591.[8] HALL P, HOROWITZ J L. Methodology and convergence rates for functional linear regression [J]. Ann Statist, 2007, 35(1): 70-91.[9] CAI T T, HALL P. Prediction in functional linear regression [J] . Ann Statist, 2006, 34(5): 2159-2179.[10] CRAMBES C, KNEIP A, SARDA P. Smoothing splines estimators for functional linear regression [J].Ann Statist, 2009, 37(1): 35-72.[11] CAI T T, YUAN M. Minimax and adaptive prediction for functional linear regression [J]. J Amer Statist Assoc, 2012, 107(499): 1201-1216.[12] YUAN M, CAI T T. A reproducing kernel Hilbert space approach to functional linear regression [J]. Ann Statist, 2010, 38(6): 3412-3444.[13] KOENKER R, BASSETT G. Regression quantiles [J]. Econometrica, 1978, 46(1): 33-50.[14] KOENKER R. Quantile Regression [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2005.[15] CARDOT H, CRAMBES C, SARDA P. Quantile regression when the covariates are functions [J]. J Nonparametr Stat, 2005, 17(7): 841-856.[16] KATO K. Estimation in functional linear quantile regression [J] . Ann Statist, 2012, 40(6): 3108-3136.[17] LU Y, DU J, SUN Z M. Functional partially linear quantile regression model [J]. Metrika, 2014, 77(2): 317-332.[18] YU P, DU J, ZHANG Z Z. Varying-coe伍cient partially functional linear quantile regression models [J]. J Korean Statist Soc, 2017, 46(3): 462-475.[19] ZHAO B, CHEN Z, TAO G P, et al. Composite quantile regression estimation for P-GARCH pro cesses [J]. Sci China Math, 2016, 59(5): 977-998.[20] ZOU H, YUAN M. Composite quantile regression and the oracle model selection theory [J]. Ann Statist, 2008, 36(3): 1108-1126.[21] KAI B, LI R Z, ZOU H. Local composite quantile regression smoothing: an efficient and safe alter native to local polynomial regression [J] . J R Stat Soc Ser B Stat Methodol, 2010, 72(1): 49-69.[22] JIANG R, ZHOU Z G, QIAN W M, et al. Single-index composite quantile regression [J]. J Korean Statist Soc, 2012, 41(3): 323-332.[23] KONG E F, XIA Y C. An adaptive composite quantile approach to dimension reduction [J]. Ann Statist, 2014, 42(4): 1657-1688.372应用概率统计第 35 卷[24] ZHANG R Q, LV Y Z, ZHAO W H, et al. Composite quantile regression and variable selection in single-index coe伍cient model [J]. J Statist Plann Inference, 2016, 176: 1-21.[25] TANG Y L, SONG X Y, ZHU Z Y. Variable selection via composite quantile regression with dependent errors [J]. Stat Neerl, 2015, 69(1): 1-20.[26] GUO J, TANG M L, TIAN M Z, et al. Variable selection in high-dimensional partially linear additive models for composite quantile regression [J]. Comput Statist Data Anal, 2013, 65: 56-67.[27] WU W B. M-estimation of linear models with dependent errors [J]. Ann Statist, 2007, 35(2): 495- 521.[28] YU P, ZHANG Z Z, DU J. A test of linearity in partial functional linear regression [J]. Metrika, 2016, 79(8): 953-969.[29] LIAN H. Functional partial linear model [J]. J Nonparametr Stat, 2011, 23(1): 115-128.[30] GOIA A. A functional linear model for time series prediction with exogenous variables [J]. Statist Probab Lett, 2012, 82(5): 1005-1011.[31] ANEIROS-PEREZ G, VIEU P. Nonparametric time series prediction: a semi-functional partial linear modeling [J]. J Multivariate Anal, 2008, 99(5): 834-857.[32] SHIN H. Partial functional linear regression [J]. J Statist Plann Inference, 2009, 139(10): 3405-3418.[33] KNIGHT K. Limiting distributions for Li regression estimators under general conditions [J]. Ann Statist, 1998, 26(2): 755-770.Composite Quan tile Regression for Functio nal Linear Models with Dependent ErrorsWENG Yuling1 YU Ping2,3 ZHANG Zhongzhan1College of Applied Sciences, Beijing University of Technology, Beijing, 100124, China) (2 Department of Statistics, Fudan University, Shanghai, 200433, China)(3 College of Mathematics and Computer Science, Shanxi Normal University, Linfen, 041000, China)Abstract: In this paper, we propose composite quantile regression for functional linear model with de pendent data, in which the errors are from a short-range dependent and strictly stationary linear process. The functional principal component analysis is employed to approximate the slope function and the func tional predictive variable respectively to construct an estimator of the slope function, and the convergence rate of the estimator is obtained under some regularity conditions. Simulation studies and a real data analysis are presented for illustration of the performance of the proposed estimator.Keywords: functional linear regression models; composite quantile regression; short-range dependence; strictly stationary series; functional principal component analysis2010 Mathematics Subject Classification: 62P10; 62J12 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容