株洲市二中2012年高二年级下学期理科数学第1次月考试卷

(理科）数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。） 1． 已知R为实数集，M{x|x2x0},N{x|x1}，则M(CRN)( )．

A．{x|0x1} B．{x|0x2} C．{x|x1} D．

y 1 22．abcd是ab且cd的

A. 必要不充分条件 B.充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3． 设P(x,y)是图中的四边形内的点或四边形边界上的点，则z -1 2xy 的最大值是( )．

A．2 B．1 C．1 D．2 4．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4， 则公差d等于( )

O -1 第3题图

1 x 5 C.- 2 D 3 35． 设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinAayc0 A．1 B

与bxysinBsinC0的位置关系是( )．

A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 6．已知a0,b0，则A．2

112ab的最小值是（ ） ab C．4

D．5

y A F1 B F2 B．22

x2y27． 已知点F1、F2分别是椭圆221的左、右焦点，过F1且垂直于

abx轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离

心率e是( )．

A．

x 2311 B. C. D.

3223第7题图

8． 设球的半径为时间t的函数Rt。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 ( )

A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在答题卷题中横线上）

x2a9．若函数f(x)在x1处取极值，则a

x110．曲线ye2x1在点（0,1）处的切线方程为

11．函数f(x)2x7x6与g(x)x的图象所围成封闭图形的面积为 . 12．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中

2x心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是

x2y213．设双曲线221(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方

ab程为 14．考察下列一组不等式：

2353225252,2454235253,255523522253,.

将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.

f2(1)f(2)f2(2)f(4)15.已知函数（fx）满足：f(pq)f(p)f(q),f(1)3,则+ f(1)f(3)f2(3)f(6)f2(4)f(8)f2(5)f(10) . f(5)f(7)f(9)三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

已知：a(3sinx,cosx),b(cosx,cosx)，f(x)2ab2m1（x,mR）. (1) 求f(x)关于x的表达式，并求f(x)的最小正周期；

(2) 若x[0,2]时f(x)的最小值为5，求m的值.

17．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD为矩形，且AD2,AB1，PA平面ABCD，E为BC上的动点.

(1) 当E为BC的中点时，求证：PEDE； P (2) 设PA1，在线段BC上存在这样的点E，使得二面角

PEDA的大小为

. 试确定点E的位置. 4 B A D C E 第17题图

18.（本小题满分12分）

设函数f(x)axbxc(a0)为奇函数，其图象在点(1,f(1处))的切线与

垂直，导函数f'(x)的最小值为12． x6y70（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值．

19（本小题满分13分）

甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x），当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。 （1）试解释f(0)10,g(0)20的实际意义； （2）设f(x)31x10,g(x)x20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，4同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？

20.（本小题满分13分）

已知椭圆的一个顶点为A（0，－1），焦点在x轴上，其右焦点到直线 xy220的距离为3，

（1）求椭圆方程；

(2）椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围。

21.（本小题满分13分)

已知函数f(x)xln1x,数列an满足0a11, an1fan; 数列bn满足b111,bn1(n1)bn, nN*. 22an2; 求证:（1）0an1an1; （2）an12 （3）若a1

2,则当n≥2时,bnann!(n!1×2×3×…×n). 2

株洲市2012年上期高二第一次质量检测 （理科）数学答卷

一。选择题。（每小题5分，共40分） 题号 选项 1 2 3 4 5 6 7 8 座位号

二。填空题。（每小题5分，共35分）

11._____________________ 12.____________________ 13.

14. 15.____________________

三。解答题。

16.（本小题12分）

17.（本小题12分）

18.（本小题12分）

19.（本小题13分）

20.（本小题13分）

21.（本小题13分）

数学试题参考答案和评分标准（理科）

一、选择题（每题5分，共40分）

序号 答案 1 A 2 A 3 D 4 C 5 C 6 C 7 D 8 D 二、填空题（每题5分，共35分） 9．3. 10．y3x2. 11．

14．amnbmn 注：填2 若填2mnm128. 12.60. 13．yx. 32（或a,b0,ab,m,n为正整数）. ambnanbma,b0,ab,m,n05mn2m5n2n5m以及是否注明字母的取值符号和关系，均不扣分；

5m12m525m或am1bm1ambabm可给3分.

15.30

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

216. 解：(1) f(x)23sinxcosx2cosx2m1……………………………………………………2分

3sin2xcos2x2m ………………………………………………………………………………………………4分

2sin(2x6)2m. …………………………………………………………………………………………………………6分

f(x)的最小正周期是. …………………………………………………………………………………………………7分

7(2) ∵x[0,]，∴2x[,] …………………………………………………………………8分

26667∴当2x即x时，函数f(x)取得最小值是2m1. ………………………10分

266∵2m15，∴m3. …………………………………………………………………………………………………12分

17. 方法一：(1) 证明：当E为BC中点时，ECCD1，从而DCE为等腰直角三角形，则DEC45，同理可得AEB45，∴AED90，于是DEAE，…2分 又PA平面ABCD，且DE平面ABCD，∴PADE，…………………………………………4分 ∴DE平面PAE，又PE平面PAE，∴DEPE. …………………………………………………6分

(2) 如图过A作AQDE于Q，连AE,AQ，则

PPQDE，

∴PQA为二面角PEDA的平面角. ………8分 设BEx，则CE2x.

AQECD在RtPAQ中,PQA4B,AQP1.

在RtABE中,AE1x2,在RtAQE中,EQx,

在RtAQD中DQ3,于是DEx3

…………………………………………………………

10分

在RtDCE中，有(x3)2(2x)21

解之得x23。

点E在线段BC上距B点的23处. …………………………………………………………………………12分

z方法二、向量方法.以A为原点，AB,AD,AP所在直线为

x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，如图. …………………………1分

（1）不妨设APa，则P(0,0,a),E(1,1,0),D(0,2,0)，

PA从而PE(1,1,a),DE(1,1,0)，………………………4分

BEC(1,1,0)110， 于是PEDE(1,1,a)x所以PEDE,所以PEDE …………………………………………………………………………………6分

Dy（2）设BEx，则P(0,0,1),E(1,x,0),D(0,2,0)，

则PE(1,x,1),DE(1,x2,0).………………………………………………………………………………8分

易知向量AP(0,0,1)为平面AED的一个法向量.设平面PDE的法向量为n(a,b,c)，则应有

abxc0nPE0, 即解之得c2b，令b1,则c2，a2x， ab(x2)0nDE0,从而n(2x,1,2)，………………………………………………………………………………………………………10分

nAP222依题意cos，即，解之得x123（舍去），24nAP22(x2)5x123 所以点E在线段BC上距B点的23处.…………………………………………………………………12分

18. 略

19.解：（1）f（0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风

险，至少要投入10万元宣传费；g（0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费。………………………………5分

（2）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，依题意，当且仅当

1yf(x)x10.......(1)4 成立，双方均无失败的风险……………………9分

xg(y)y20..........(2)由（1）（2）得y1(y20)104yy600 4(y4)(4y15)0

4y150y4y16,xxmin24ymin16

y2042024

答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元。 ……………………………………………………………………………………13分

x2y220.解：(1)根据题意，可设椭圆方程为221(ab0)

ab 而b=1，右焦点设为F（c，0）， 由已知，得|c22|23(c0)

解得c2，从而a3

x2 所求椭圆方程为 y21。3 （2）设P为线段MN中点，由|AM|=|AN|得MN⊥AP， 从而kMN·kAP=－1 ①

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则xPx1x2yy2 ，yP122ykxm(3k21)x26mkx3(m21)0 x22y13 一方面，(6mk)4(3k1)3(m1)0，化简得m3k1 另一方面，x1x222222②

6mk3mkm ，从而x，yk·xmPPP2223k13k13k1y(1)xPPA(0，1)及①，得k·1，把x，y代入，整理，得 又 PP 2m3k12

2③

2

由②③，消去k，得m<2m，解得0221.解(Ⅰ)先用数学归纳法证明0an1,nN.

（1）当n=1时,由已知得结论成立;

（2）假设当n=k时,结论成立,即0ak1.则当n=k+1时, 因为0故当n=k+1时,结论也成立. 即0an1对于一切正整数都成立.

又由0an1, 得an1ananln1ananln(1an)0,从而an1an. 综上可知0an1an1.…………4分

x2x2(Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= ln(1x)x, 022x2由g(x)0,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0.

1xan2an2因为0an1,所以gan0,即fan>0,从而an1.…………9分

22(Ⅲ) 因为 b1

bn111 , ,bn1(n1)bn,所以bn0,n1bn222

所以bnbnbn1b21b1nn! ————① , bn1bn2b12

aaaan2aaaaaa,知:n1n, 所以n=23n12n1 , 由(Ⅱ)an1a1a1a2an122an222因为a1

2, n≥2, 0an1an1. 2a1n2a121a1a2an1所以 ana1222222由①② 两式可知: bnann!.…………13分