理科高考数学安徽卷

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2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数 学（理科）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、i是虚数单位，i 33iB、

A、

13i 41213i 412C、

13i 26D、

13i 262、若集合Axlog1x2A、(,0]1，则ðRA 22222,, B、 C、(,0][ D、[,),) 22225、双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为

2A、2,0

5B、2,0

26C、2,0

D、

3,0

6、设abc0，二次函数fxaxbxc的图象可能是

7、设曲线C的参数方程为x23cos（为参数），直线l的方程为x3y20，

y13sin710的点的个数为 10C、3

D、4

1

则曲线C上到直线l距离为A、1

B、2

8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 A、280

9、动点Ax,y在圆x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间t0时，点A的坐标是(,B、292

C、360

D、372

13)，则22当0t12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 A、0,1

2

B、1,7 C、7,12 D、0,1和7,12

10、设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是 A、XZ2Y C、YXZ

2

B、YYXZZX D、YYXXZX

14、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x________。

15、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。①PB ②PB|A12； 55； ③事件B与事件A1相互独立；④A1,A2,A3是两两互斥的事件； 11 ⑤PB的值不能确定，因为它与A1,A2,A3中哪一个发生有关

3

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。 16、（本小题满分12分）

设ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且

sin2Asin(B) sin(33B)  sin2B。

(Ⅰ)求角A的值；

(Ⅱ)若ABAC12,a27，求b,c（其中bc）。

17、（本小题满分12分）

设a为实数，函数fxex2x2a,xR。

(Ⅰ)求fx的单调区间与极值；

(Ⅱ)求证：当aln21且x0时，exx22ax1。

4

18、（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EFFB，

AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC的中点。

EFDCHAB

(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB；

(Ⅱ)求证：AC平面EDB； (Ⅲ)求二面角BDEC的大小。

5

19、（本小题满分13分）

已知椭圆E经过点A2,3，对称轴为坐标轴，焦点

F1,F2在x轴上，离心率e12。 (Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)求F1AF2的角平分线所在直线l的方程； (Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

6

20、（本小题满分12分）

设数列a1,a2,,an,中的每一项都不为0。

证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有

111n。 a1a2a2a3anan1a1an1

7

21、（本小题满分13分）

品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。

现设n4，分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令

X1a12a23a34a4，

则X是对两次排序的偏离程度的一种描述。 (Ⅰ)写出X的可能值集合；

(Ⅱ)假设a1,a2,a3,a4等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X的分布列； (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X2，

(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。

8

1.B 【解析】ii(33i)3i313i，选B.

391241233ii为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭33i2【规律总结】复数3i，然后利用复数的代数运算，结合i1得结论.

2、若集合Axlog1x2A、(,0]2.A

1，则ðRA 22222,, B、 C、(,0][ D、[,),) 2222

5、双曲线方程为x2y1，则它的右焦点坐标为

22 9

A、5.C

22,0 B、52,0 C、62,0 D、

3,0

61362【解析】双曲线的a1,b，c，c，所以右焦点为2,0. 22222【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用

c2a2b2求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b21或b22，从而得出错误结论.

6、设abc0，二次函数fxaxbxc的图象可能是

2

6.D

【解析】当a0时，b、c同号，（C）（D）两图中c0，故b0,符合.

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分a0或a0两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 7、设曲线C的参数方程为b0，选项（D）2ax23cos（为参数），直线l的方程为x3y20，

y13sin710的点的个数为 10C、3

D、4

则曲线C上到直线l距离为A、1 7.B

B、2

【解析】化曲线C的参数方程为普通方程：(x2)(y1)9，圆心(2,1)到直线

22x3y20的距离d

|23(1)2|7103，直线和圆相交，过圆心和l平行101010

的直线和圆的2个交点符合要求，又符合要求，所以选B.

710710，在直线l的另外一侧没有圆上的点31010【方法总结】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C上到直线l距离为

710，然后再判断知10710710，进而得出结论. 31010

8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 A、280 372 8.C

【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的

4

个侧面积之和。

B、292

C、360

D、

S2(10810282)2(6882)360.

【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

9、动点Ax,y在圆x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间t0时，点A的坐标是(,13)，则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t（单22位：秒）的函数的单调递增区间是 A、0,1 9.D

【解析】画出图形，设动点A与x轴正方向夹角为，则t0时在t0,1上[递增的。

11

B、1,7 C、7,12 D、0,1和7,12

3，每秒钟旋转

，637,]，在7,12上[,]，动点A的纵坐标y关于t都是单调3223

【方法技巧】由动点Ax,y在圆x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0,12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.

10、设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是 A、XZ2Y C、YXZ 10.D

【分析】取等比数列1,2,4,令n1得X1,Y3,Z7代入验算，只有选项D满足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.

2

B、YYXZZX D、YYXXZX

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

12

13.4

【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是

1(0,0),(0,2),(,0),(1,4)，易见目标函数在(1,4)取最大值8，

2所以8ab4ab4，所以ab2ab4，在ab2时是等号成立。所以ab的最小值为4.

【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得ab4，要想求ab的最小值，显然要利用基本不等式.

14、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x________。 14.12

【解析】程序运行如下:x1,x2,x4,x5,x6,x8,x9,x10,x12,输出12。 【规律总结】这类问题，通常由开始一步一步运行，根据判断条件，要么几步后就会输出结

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果，要么就会出现规律，如周期性，等差或等比数列型.

15、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。 ①PB25； ②PB|A1； ③事件B与事件A1相互独立； 511④A1,A2,A3是两两互斥的事件；

⑤PB的值不能确定，因为它与A1,A2,A3中哪一个发生有关 15.②④

【解析】易见A1,A2,A3是两两互斥的事件，而

P(B)PB|A1PB|A2PB|A35524349。 10111011101122【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在A1,A2,A3是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化

P(B)PB|A1PB|A2PB|A3，可知事件B的概率是确定的.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。 16、（本小题满分12分）

设ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且

sin2Asin(B) sin(B)  sin2B。

33 (Ⅰ)求角A的值；

(Ⅱ)若ABAC12,a27，求b,c（其中bc）。

14

17、（本小题满分12分）

设a为实数，函数fxe2x2a,xR。

x (Ⅰ)求fx的单调区间与极值；

(Ⅱ)求证：当aln21且x0时，ex2ax1。

x2

15

18、（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EFFB，

AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC的中点。

EFDCHAB

(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB；

(Ⅱ)求证：AC平面EDB； (Ⅲ)求二面角BDEC的大小。

16

19、（本小题满分13分）

已知椭圆E经过点A2,3，对称轴为坐标轴，焦点

F1,F2在x轴上，离心率e (Ⅰ)求椭圆E的方程；

1。 2(Ⅱ)求F1AF2的角平分线所在直线l的方程； (Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？ 若存在，请找出；若不存在，说明理由。

17

18

20、（本小题满分12分）

设数列a1,a2,,an,中的每一项都不为0。

证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有

111n。 a1a2a2a3anan1a1an1

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