高考数学选修-计数原理-排列组合

知识点

一、排列

定义:一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中

A取出m个元素的一个排列；排列数用符号n表示

对排列定义的理解：

定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m个元素，再按顺序排列”

相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。比如abc与acb是两个不同的排列 描述排列的基本方法：树状图 排列数公式：

mAnn(n1)(n2)(nm1)(n,mN)m我们把正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶

乘，用n!表示，即n!n(n1)(n2)21，并规定0!1。 全排列数公式可写成

nAnn!.

mAnn(n1)(n2)(nm1)由此，排列数公式可以写成阶乘式：

二、组合

n!(nm)!（主要用于化简、证明等）

定义:一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；组合数用符号

mCn表示

对组合定义的理解：

取出的m个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点.

只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合

排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。 组合数公式：

mAnn(n1)(n2)(nm1)n!Cm(n,mN，且mn)Amm!m!(nm)! mn变式：Cnmn!n(n1)(n2)(m1)nmCn(n,mN,且mn)

m!(nm)!(nm)! 1 / 7

组合数的两个性质

mnm1、CnCn

①计算Cn时，若m＞，通常不直接计算Cn，而改为计算Cnmn2mnm，这样可以减少计算量

0②为了使这个公式在mn时也成立，我们规定Cn1，这只是一个规定，并没有实际的组合意义 mmm12、Cn1CnCn

题型一 投信问题

【例1】

1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？

（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？

题型二染色问题

1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.

2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．

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3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．

1 4 7

2 5 8 3 6 9 题型三相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位乙不在某位问题

有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选其中5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻；

（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人. （7）甲必须站在中间

（8）甲不能站在开头,乙不站在排尾。

题型四顺序一定问题

1、7名同学排成一排，甲必须在乙的左边，有多少种排队方法？

2、7名同学排成一排，甲在乙的左边，乙在丙的左边，共有几种排队方法？

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题型五平均分配与不平均分配问题

1、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？ 2、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？

3、六本不同的书分成1本，2本，3本，共有多少种分配方法？

4、六本不同的书分成1本，2本，3本，然后分给甲、乙、丙三位同学，共有多少种分配方法？ 5、6本不同的书，分成两个1本，一个四本三组，分给三位同学，共有多少种不同的分发？

题型六综合

1、用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数： （1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125的数. 2、（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加；

（4）既要有队长，又要有女运动员.

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. （1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？ （2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ （3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

5、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有 （ ） A.1 440种 B.960种 C.720种 D.480种

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6、宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄掉其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法种数为 .（用数字作答） 【过关练习】

1.由0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不是5个倍数的数有多少个？（分别用直接法、优先法、间接法）

2.3名男生，4名女生，全体站成一排，男生必须在一起，有几种排列方案？

3.甲、乙等6人站成一排，要求甲和乙不相邻，有几种站法？

4.7人站成一排，其中甲在乙前，乙在丙前（不一定相邻），则共有多少种不同的站法？

5.在100个零件中有80个正品、20个次品，从中任意选2个进行检测，其中至少有一个次品的选法有多少种？

6.求方程x1x2x3x410的正整数解的组数

7.将组成篮球队的10个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，问名额的分配方式有多少种？

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课后练习

【补救练习】

1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A．324 B．328 C．360 D．648

2.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ） A.18 B.24 C.30 D.36

3.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）

A.70种 B. 80种 C. 100种 D.140种

4.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）

A. 360 B. 188 C. 216 D. 96

5.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同

的分配方案有_____种。

6.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）。

7.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种。

【巩固练习】

1.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （ ） A.85 B.56 C.49 D.28 2.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ） A.36种 B.48种 C.72种 D.96种

3.在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ （1）A，B必须当选； （2）A，B必不当选； （3）A，B不全当选；

（4）至少有2名女生当选； （5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.

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【拔高练习】

1.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选其中5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻；

（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.

2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加；

（4）既要有队长，又要有女运动员.

3.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.

（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

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