2007年高考数学试题(海南、宁夏.理)含答案

理科数学

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知命题p:xR，sinx≤1，则（ ） Ａ．p:xR，sinx≥1 Ｃ．p:xR，sinx1

Ｂ．p:xR，sinx≥1 Ｄ．p:xR，sinx1

2．已知平面向量a(11)，，b(1，1)，则向量Ａ．(2，1) Ｃ．(1，0)

3．函数ysin2x

Ｂ．(2，1) Ｄ．(1，2)

13ab（ ） 22ππ在区间的简图是（ ） ，π32y  3y 1  1  O  621 x

  3O 21  6 x

Ａ．

Ｂ．

y y   31   O 621 x  2 61  3O  x 1 Ｄ． Ｃ．

开始 4．已知an是等差数列，a1010，其前10项和S1070， 则其公差d（ ） Ａ．k1 S0 k≤50?2 3Ｂ．1 3Ｃ．

1 3Ｄ．

2 3否 是 SS2k 输出S ．如果执行右面的程序框图，那么输出的S（ ） Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 6．已知抛物线y2px(p0)的焦点为F，

2，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上， 点P1(x1且2x2x1x3， 则有（ ） Ａ．FP1FP2FP3

Ｂ．FP1FP2Ｄ．FP2222FP3

2Ｃ．2FP2FP1FP3 FP·FP3 1(ab)27．已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的

cd最小值是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4

8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

2040003cm 380003Ｂ．cm

3Ａ．

Ｃ．2000cm Ｄ．4000cm 9．若

33

20正视图

20侧视图

10 10 20俯视图

cos22，则cossin的π2sin4值为（ ） Ａ．7 2

Ｂ．1 2

Ｃ．

1 2 Ｄ．

7 2．曲线yeＡ．

1x2在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ｂ．4e

2292e 2

Ｃ．2e

2Ｄ．e

211．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

Ａ．s3s1s2 Ｃ．s1s2s3

Ｂ．s2s1s3 Ｄ．s2s3s1

12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1:h2:h（ ） Ａ．3:1:1

Ｂ．3:2:2

Ｃ．3:2:2

Ｄ．3:2:3

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．

(x1)(xa)为奇函数，则a ．

x510i15．i是虚数单位，（用abi的形式表示，a，bR）  ．

34i14．设函数f(x)16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB．

S

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC90°，O为BC中点． （Ⅰ）证明：SO平面ABC；

（Ⅱ）求二面角ASCB的余弦值． 19．（本小题满分12分）

O C

B A

x2在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不

2同的交点P和Q． （I）求k的取值范围；

（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量

OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分） 如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计

mS，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷n10000个点，以X表示落入M中的点的数目． C D （I）求X的均值EX；

（II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际

值为

值之差在区间(0.03，)内的概率．

M 附表：P(k)Ct0kt100000.25t0.7510000t

A 2574 0.9570 2575 0.9590 B

k P(k) 2424 0.0403 2425 0.0423 21．（本小题满分12分） f(x)ln(xa)x2

（I）若当x1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （II）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于lne． 222．请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

P 如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点．

（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；

A B O （Ⅱ）求OAMAPM的大小．

22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

M C O1和O2的极坐标方程分别为4cos，4sin．

（Ⅰ）把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程．

22．Ｃ（本小题满分10分）选修45；不等式选讲 设函数f(x)2x1x4． （I）解不等式f(x)2； （II）求函数yf(x)的最小值．

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题 1．Ｃ 2．Ｄ 7．Ｄ 8．Ｂ 二、填空题 13．3 14．1

3．Ａ

9．Ｃ 4．Ｄ 10．Ｄ

5．Ｃ 11．Ｂ 6．Ｃ 12．Ｂ

15．12i

16．240

17．解：在△BCD中，CBDπ． 由正弦定理得所以BCBCCD． sinBDCsinCBDCDsinBDCs·sin． sinCBDsin()s·tansin．

sin()在Rt△ABC中，ABBCtanACB18．证明： （Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SCSA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OAOBOCS

2SA，且2M

O AOBC，又△SBC为等腰三角形，故SOBC，且SO2SA，从而OA2SO2SA2． 2C

B A

所以△SOA为直角三角形，SOAO． 又AOBOO．

所以SO平面ABC． （Ⅱ）解法一：

取SC中点M，连结AM，由（Ⅰ）知SO，OMOMS，CAM． SO，CSA，A得

∴OMA为二面角ASCB的平面角． 由AOBC，AOSO，SOBCO得AO平面SBC．

所以AOOM，又AM3SA， 2故sinAMOAOAM26． 33所以二面角ASCB的余弦值为解法二：

3． 3以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系

Oxyz．

设B(1，0，0)，则C(1，0，，0)A(01，，，0)S(0，01)，．

111111的中点M，0，，MA，1，，SC(1，0，1)． 0，，MO，222222∴MO·SC0，MA·SC0．

故MOSC，MASC，z S ASCB的平面角．

MO·MA3， cosMO，MA3MO·MA所以二面角ASCB的余弦值为

M O C

3． 3x B A y 19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为ykx2，

x2代入椭圆方程得(kx2)21．

2整理得1k2x222kx10 ① 22直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k41k24k220， 22222∞解得k或k．即k的取值范围为∞，2，． 222（Ⅱ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OPOQ(x1x2，y1y2)，

由方程①，x1x242k． ②

12k2又y1y2k(x1x2)22． ③

0)B(0，，1)AB(2，1)． 而A(2，，所以OPOQ与AB共线等价于x1x22(y1y2)，

将②③代入上式，解得k2． 2由（Ⅰ）知k22或k，故没有符合题意的常数k． 2220．解：

每个点落入M中的概率均为p依题意知X~B10000，． （Ⅰ）EX100001． 41412500． 4X410.03，

10000（Ⅱ）依题意所求概率为P0.03XP0.03410.03P(2425X2575)

100002574t24262574Ct100000.25t0.7510000t

2425t0t2426Ct100000.250.75t10000ttC100000.25t0.75100001

0.95700.04230.9147．

21．解： （Ⅰ）f(x)12x， xa3． 2依题意有f(1)0，故a2x23x1(2x1)(x1)从而f(x)． 33xx2233∞，当x1时，f(x)0； f(x)的定义域为，22当1x当x1时，f(x)0； 21时，f(x)0． 232121，∞单调增加，在区间1，从而，f(x)分别在区间，，1单调减少． 22x22ax1（Ⅱ）f(x)的定义域为(a，． ∞)，f(x)xa2x22ax10的判别式4a28．

（ⅰ）若0，即2a2，在f(x)的定义域内f(x)0，故f(x)的极值．

（ⅱ）若0，则a2或a2．

(2x1)2∞)，f(x)若a2，x(2，．

x2当x222，∞时，f(x)0，当x2，时，f(x)0，所以f(x)222无极值．

(2x1)20，f(x)也无极值． ∞)，f(x)若a2，x(2，x2（ⅲ）若0，即a2或a2，则2x2ax10有两个不同的实根

2aa22aa22x1，x2．

22当a2时，x1a，x2a，从而f(x)有f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值．

当a2时，x1a，x2a，f(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知f(x)在xx1，xx2取得极值．

∞)． 综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，f(x)的极值之和为

1ef(x1)f(x2)ln(x1a)x12ln(x2a)x22lna211ln2ln22．

22．Ａ

（Ⅰ）证明：连结OP，OM．

因为AP与O相切于点P，所以OPAP． 因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC．

P A B O 于是OPAOMA180°．

，P，O，M四点共圆．由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A

，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A由（Ⅰ）得OPAP．

由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90°．

M C OAMAPM90°．

22．Ｂ

解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

（Ⅰ）xcos，ysin，由4cos得4cos． 所以xy4x．

即xy4x0为O1的直角坐标方程． 同理xy4y0为O2的直角坐标方程．

22x22xy4x0，x10，（Ⅱ）由2解得． 2y0，y2xy4y0122222222即O1，O2交于点(0，0)和(2，2)．过交点的直线的直角坐标方程为yx． 22．Ｃ解：

（Ⅰ）令y2x1x4，则

y 1x5， x≤，21y3x3， x4，．．．．．．．．．．．．．．．3分

2x5， x≥4．y2 O 1 24 x 作出函数y2x1x4的图象，它与直线y2的交点为(7，2． 2)和，53所以2x1x42的解集为(x，7)，x． （Ⅱ）由函数y2x1x4的图像可知，当x值

531时，y2x1x4取得最小29． 2