直线系方程的应用

直线系方程及其应用

所谓直线系方程,是指满足某种特征的直线方程的全体.在解决直线方程问题时,若能巧妙地运用直线系方程的有关结论,有时可以收到事半功倍之效果.以下总结常见的直线系及其巧用. 一、直线系的类型 1.共点直线系方程

经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为

A1xB1yC1(A2xB2yC2)0（为待定系数）.

2.平行直线系方程

与直线AxByC0平行的直线系方程为AxBy0（为参数）. 3.垂直直线系方程

与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAy0（为参数）. 二、直线系解题的巧用 1.共点的直线系方程的应用

例1.求经过两直线l1:x2y40和l2:xy20的交点P，且与直线l3:3x4y50垂直的直线l的方程．

x2y4034【解析】方法一：解方程组得交点P(0,2)，因为k3，所以直线l的斜率k，

43xy204方程为y2x，即4x3y60.

3方法二：设所求直线l：4x3yc0，由方法一知：P(0,2)代入方程，得c6，所以直线l的方程为4x3y60．

方法三：设所求直线l：(x2y4)(xy2)0 ，整理得(1)x(2)y240 ，因为ll3，所以3(1)4(2)0，解得

11，所以直线l的方程为

(x2y4)11(xy2)0即4x3y60．

例2.求过点M(3，4)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．

，B不全为零）【解析】设所求直线方程为A(x3)B(y4)0（其中A．

显然，当A0或B0时，所得直线方程不满足题意．故A，B均不为零． 当x0时，y3A4B4；当y0时，x3． BA 根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，

3A4B43， BAA4 令z，则3z43，

Bz 则

整理，得3z7z40， 解得z1，或z 则AB0，或A24， 34B0， 3编辑版word

故所求直线方程为xy10，或4x3y0．

例1中，解法一是常规解法，解法二用待定系数法，解法三应用了经过两直线交点的直线系方程，省去了求两直线交点的解方程组的运算．例2中，利用过点P(x0，y0)的直线系方程

A(xx0)B(yy0)0（其中A，B不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直

线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性． 2. 平行直线系方程的应用

与直线：AxByC0（A、B不同时为0）平行的直线系方程为：AxByC0（CC） 例3.直线l平行于两平行直线3x4y100和3x4y350且分这两平行线间的距离为 2：3，求l的方程.

【解析】设l的方程为3x4yc0（35c10），由

c1052或c1053且35c10，

解得c20或c25，故所求直线方程为3x4y200或3x4y250.

对于已知两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算. 3. 垂直直线系方程的应用

与直线：AxByC0（A,B不同时为0）垂直的直线系方程为：BxAyC0. 例4.求过点(2,4)且与直线 x2y20 垂直的直线方程.

【解析】设l：2xyc0，因为过点(2,4)，所以c8，故直线方程为2xy80.

对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算. 总结以上四个例题，值得我们注意的是直线A(xx0)B(yy0)0表示的是过点P(x0，y0)的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．而平行直线系和垂直直线系则可以简化计算.

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