一．选择题（共18小题）
1．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①﹣b，其中正确的是（ ） A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
＝
，②
×
＝1，③
÷
＝
2．下列各式计算正确的是（ ） A．3 3．等式
＝
成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
+
＝
B．4
﹣3
＝1
C．2
×3
＝6
D．
÷
＝
A． B．
C． D．
＝
＝7+4
4．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：
，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于由x2＝（
，即
﹣
﹣﹣
，设x＝
）2＝3+＝
﹣+3﹣
，易知﹣2
+＞
，故x＞0，＝2，解得x＝﹣
．根据以上方法，化简
后的结果为（ ） A．5+35．能使等式A．x≠2 6．等式
A．a≥b，x≥0 7．计算A．6
×
B．5+
C．5﹣
D．5﹣3
成立的x的取值范围是（ ） B．x≥0 ＝（b﹣a）
C．x＞2
成立的条件是（ ）
C．a≤b，x≥0
D．a≤b，x≤0 D．x≥2
B．a≥b，x≤0 的结果是（ ）
B．6
C．6 D．6
第1页（共20页）
8．已知1＜p＜2，化简A．1
B．3
+（
）2＝（ ）
C．3﹣2p
D．1﹣2p
9．下列运算中，正确的是（ ） A．x3+x4＝x7
C．（﹣3x2y）2＝﹣9x4y2 10．若A．x≥6 C．0≤x≤6 11．设
＝a，
＝b，用含a，b的式子表示
B．3ab
，则（ ）
B．x≥0
B．2x2•3x4＝6x8 D．
D．x为一切实数
，则下列表示正确的是（ ） C．0.1ab2
D．0.1a2b
A．0.3ab 12．把aA．13．计算A．1 14．
＝
根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
B．
的结果是（ ） B．
成立的条件是（ ）
B．x≤3
C．﹣1≤x≤3
D．﹣1＜x≤3
C．
D．
C．
D．
A．x≥﹣1
15．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简
A．﹣a+b
B．﹣a﹣b
C．a+b
的结果是（ ）
D．a﹣b
16．下列变形正确的是（ ） A．
B．
C． D．
17．下列运算正确的是（ ） A．
B．D．
C．
18．下列化简正确的是（ ）
第2页（共20页）
A． B． C． D．
二．填空题（共20小题） 19．计算：20．计算：（21．计算22．计算：23．计算：24．计算：25．26．计算：27．化简：28．如图：化简
29．已知长方形的面积为12，其中一边长为为 ． 30．计算：31．计算32．计算：5÷33．若34．计算35．计算36．计算37．计算 （38．化简：
＝
×÷
＝ ．
的结果是 ．
所得的结果是 ．
，则x的取值范围为 ． 的结果为 ．
（x≥0，y≥0）的结果是 ． 的结果是 ． ）2＝ ．
＝ ．
，则该长方形的另一边长
×+1）（÷
＝ ． ﹣1）＝ ．
的结果是 ． ＝ ． ＝ ． 的结果为 ．
＝ ．
＝ ． ＝ ．
＝ ．
三．解答题（共10小题）
第3页（共20页）
39．计算：2÷•．
，1+ 2，5+5
40．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 22
．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2（3）请利用上述结论解决下面问题：
（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m．
41．计算：3
•
÷（﹣
）．
42．
，a＝
，求b．
43．设长方形的面积为S，相邻两边长分别是a，b，已知S＝444．化简：45．已知：（1）xy； （2）x2﹣xy+y2．
46．数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
•，
÷
．
．求下列各式的值．
．
47．若实数p在数轴上的位置如图所示，化简下列式子：
+（
）2
第4页（共20页）
48．阅读下列材料：
在学习完实数的相关运算之后，小明同学提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方的积存在有什么样的关系？小明用自己的方法进行了验证： 小明：而∴
＝5，
＝＝2
＝
×
＝10，
＝5×2＝10即
回答以下问题：
（1）结合材料猜想，当a≥0，b≥0时，请直接写出（2）运用以上结论，计算：①（3）解决实际问题： 已知一个长方形的长为
，宽为
，则长方形的面积为多少？ ；②
和
之间有什么关系？
第5页（共20页）
二次根式的乘除法习题精选
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①﹣b，其中正确的是（ ） A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
＝
，②
×
＝1，③
÷
＝
【分析】由ab＞0，a+b＜0先求出a＜0，b＜0，再进行根号内的运算． 【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0， ∴a＜0，b＜0 ①②③
＝•÷
，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误）， ＝1，
•
＝÷
＝
＝÷
＝1，（故②正确），
＝
×
＝﹣b，（故③正确）．
＝﹣b，
故选：B．
2．下列各式计算正确的是（ ） A．3
【分析】分别根据二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可． 【解答】解：A.B.4C.2D.故选：D． 3．等式
＝
成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
﹣3×3
＝
，无法合并，故此选项错误， ，故此选项错误，
+
＝
B．4
﹣3
＝1
C．2
×3
＝6
D．
÷
＝
＝6×3＝18，故此选项错误， ＝
，此选项正确，
A． B．
C． D．
第6页（共20页）
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围． 【解答】解：由题意可知：解得：x≥3 故选：B．
4．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：
＝
＝7+4
，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于由x2＝（
，即
﹣
﹣﹣
，设x＝
）2＝3+＝
﹣+3﹣
，易知﹣2
+＞
，故x＞0，＝2，解得x＝﹣
．根据以上方法，化简
后的结果为（ ） A．5+3
B．5+
C．5﹣
D．5﹣3
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：设x＝∴x＜0， ∴x2＝6﹣3
﹣2
+6+3
，
﹣
，且
＞
，
∴x2＝12﹣2×3＝6， ∴x＝∵
， ＝5﹣2
﹣
，
∴原式＝5﹣2＝5﹣3
，
故选：D． 5．能使等式A．x≠2
成立的x的取值范围是（ ） B．x≥0
C．x＞2
D．x≥2
【分析】本题需注意的是，被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围．
【解答】解：由题意可得，
，解之得x＞2．
第7页（共20页）
故选：C． 6．等式
A．a≥b，x≥0
＝（b﹣a）
成立的条件是（ ）
C．a≤b，x≥0
D．a≤b，x≤0
B．a≥b，x≤0
【分析】若二次根式有意义，则被开方数为非负数，算术平方根的结果也是非负数，可据此求出a、b、x的取值范围．
【解答】解：根据算术平方根的意义可知，b﹣a≥0且x≥0，即a≤b，x≥0． 故选：C． 7．计算A．6
×
的结果是（ ）
B．6
C．6
D．6
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【解答】解：＝＝＝6
，
×
故选：D． 8．已知1＜p＜2，化简A．1
B．3
+（
）2＝（ ）
C．3﹣2p
D．1﹣2p
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：∵1＜p＜2， ∴1﹣p＜0，2﹣p＞0， ∴原式＝|1﹣p|+2﹣p ＝p﹣1+2﹣p ＝1． 故选：A．
9．下列运算中，正确的是（ ） A．x3+x4＝x7
C．（﹣3x2y）2＝﹣9x4y2
B．2x2•3x4＝6x8 D．
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、单项式乘单项式、二次根式的乘法运算法则分别计算得出答案．
第8页（共20页）
【解答】解：A、x3+x4无法合并，故此选项错误； B、2x2•3x4＝6x6，故此选项错误； C、（﹣3x2y）2＝9x4y2，故此选项错误； D、
×
＝
，故此选项正确．
故选：D． 10．若A．x≥6 C．0≤x≤6
，则（ ）
B．x≥0
D．x为一切实数
【分析】本题需注意的是二次根式的被开方数为非负数，由此可求出x的取值范围． 【解答】解：若故选：A． 11．设
＝a，
＝b，用含a，b的式子表示
B．3ab 化为
、
，则下列表示正确的是（ ） C．0.1ab2
D．0.1a2b
成立，则
，解之得x≥6；
A．0.3ab 【分析】先把【解答】解：∵∴
＝0.3ab．
的形式，再把a、b代入计算即可．
＝0.3
，
＝a，
＝b，
故选：A． 12．把aA．
根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
B．
C．
D．
【分析】本题需注意的是a的符号，根据被开方数不为负数可得出a＜0，因此需先将a的负号提出，然后再将a移入根号内进行计算． 【解答】解：∵a＜0， ∴a
＝﹣
＝﹣
；
故选：B． 13．计算A．1
的结果是（ ） B．
C．
D．
【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则化简，进而得出答案．
第9页（共20页）
【解答】解：＝＝＝
．
故选：C． 14．
＝
成立的条件是（ ）
B．x≤3
C．﹣1≤x≤3
D．﹣1＜x≤3
A．x≥﹣1
【分析】根据二次根式的性质分别得出关于x的不等式进而求出答案． 【解答】解：∵∴
，
＝
成立，
解得：﹣1＜x≤3． 故选：D．
15．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简
A．﹣a+b
B．﹣a﹣b
C．a+b
D．a﹣b
的结果是（ ）
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可． 【解答】解：由题意得： b＜0＜a， ∴
＝a+（﹣b） ＝a﹣b， 故选：D．
16．下列变形正确的是（ ） A．
B．
C． D．
第10页（共20页）
【分析】A：等式右边没有意义；
B：被开方数是带分数时先化为假分数，然后再开方； C：正确；
D：被开方数先化为平方差的形式，然后再开方． 【解答】解：A：原式＝B：原式＝
＝
＝4×5＝20，∴不符合题意；
，∴不符合题意；
C：原式＝，∴符合题意； D：原式＝故选：C．
17．下列运算正确的是（ ） A．
B．D．
C．
＝7，∴不符合题意；
【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算得出答案． 【解答】解：A．B．C．3D．4
＝×2÷
＝2，故此选项不合题意；
，故此选项不合题意； ＝6
，故此选项不合题意；
＝2，故此选项符合题意．
故选：D．
18．下列化简正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式除法法结合二次根式性质化简即可． 【解答】解：A．B．C．D．
＝
，故正确；
＝2，故不正确； ＝，故不正确； ＝4，故不正确．
故选：A．
第11页（共20页）
二．填空题（共20小题） 19．计算：
＝ 3 ．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算． 【解答】解：原式＝＝
＝3． 故答案为：3． 20．计算：（
+1）（
﹣1）＝ 1 ．
【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 【解答】解：（故答案为：1． 21．计算
÷
的结果是 3 ．
化简，再根据二次根式的性质计算即可．
．
+1）（
﹣1）＝
．
【分析】根据二次根式的性质把【解答】解：故答案为：3 22．计算：
＝ 3 ．
【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果． 【解答】解：原式＝3． 故答案为：3 23．计算：
＝ 3 ．
【分析】本题直接运用二次根式的除法法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝故答案为：3． 24．计算：
×
的结果为 3 ．
＝
＝3．
【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可． 【解答】解：原式＝故答案为：3．
第12页（共20页）
＝3．
25．＝ 3 ．
【分析】直接进行平方的运算即可． 【解答】解：原式＝3． 故答案为：3 26．计算：
＝ 30 ．
【分析】利用二次根式的乘法法则运算后，将结果化成最简二次根式即可． 【解答】解：原式＝10＝10×＝30
，
．
＝ 3 ．
故答案为：3027．化简：
【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案． 【解答】解：原式＝＝
＝3． 故答案为：3． 28．如图：化简
【分析】根据数轴上点的位置确定出a﹣b，c﹣a，以及b﹣c的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c， ∴a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0， 则原式＝b﹣a﹣|c﹣a|+|b﹣c| ＝b﹣a﹣c+a﹣b+c ＝0． 故答案为：0．
29．已知长方形的面积为12，其中一边长为
，则该长方形的另一边长为 3 ．
＝ 0 ．
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
第13页（共20页）
【解答】解：∵长方形的面积为12，其中一边长为∴该长方形的另一边长为：12÷2故答案为：330．计算：
÷．
＝ 4 ．
＝3
．
，
【分析】根据二次根式的除法法则求解． 【解答】解：原式＝故答案为：4． 31．计算
的结果是 2
． ＝
＝4．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式＝故答案为：232．计算：5÷
×
所得的结果是 1 ．
＝2
，
【分析】由于二次根式的乘除运算是同级运算，从左到右依次计算即可． 【解答】解：原式＝33．若
＝
×
＝1．
，则x的取值范围为 ﹣≤x＜1 ．
【分析】根据商的算术平方根的性质即可得到结果． 【解答】解：∵∴
，
＝
，
解得：﹣≤x＜1， 故答案为：﹣≤x＜1． 34．计算
的结果为
．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：故答案为：． 35．计算
（x≥0，y≥0）的结果是 4x ．
＝
＝
＝．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
第14页（共20页）
【解答】解：＝＝4x
．
．
（x≥0，y≥0）
故答案为：4x36．计算
的结果是 3 ．
【分析】根据二次根式的乘除法法则计算，得到答案． 【解答】解：原式＝故答案为：3． 37．计算 （
）2＝ 2 ．
＝3，
【分析】直接计算即可． 【解答】解：原式＝2． 故答案是2． 38．化简：
＝
．
【分析】根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 【解答】解：＝＝
，
．
故答案为：
三．解答题（共10小题） 39．计算：2
÷
•
．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案． 【解答】解：原式＝2×6＝12＝8
．
，1+ ＞ 2
，5+5 ＝
40．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 ＞ 22
．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
第15页（共20页）
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 40 m．
【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；
（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2m+n﹣2
，联想到完全平方公式，问题得证；
；比较大小，可以作差，
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a+2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值． 【解答】解：（1）∵4+3＝7，2∴72＝49，（4∵49＞48， ∴4+3＞2
；
＝
； ＝10， ．
＜1，
）2＝48，
＝4
，
∵1+＝＞1，2∴1+＞2∵5+5＝10，2∴5+5＝2
故答案为：＞，＞，＝．
（2）m+n≥2
（m≥0，n≥0）．理由如下：
当m≥0，n≥0时， ∵（∴（∴m﹣2∴m+n≥2
﹣
）2≥0，
•
+（
）2≥0，
）2﹣2
+n≥0， ．
第16页（共20页）
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200， 根据（2）的结论可得：a+2b≥2∴篱笆至少需要40米． 故答案为：40． 41．计算：3
•
÷（﹣
）． ＝2
＝2
＝2×20＝40，
【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣3××）•
＝﹣2•＝﹣242．
y．
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘除运算即可求出答案、 【解答】解：原式＝4×（﹣5）﹣43÷ ＝﹣20﹣＝
．
，a＝
，求b．
43．设长方形的面积为S，相邻两边长分别是a，b，已知S＝4【分析】利用长方形的边＝面积÷邻边列式计算即可． 【解答】解：b＝S÷a ＝4＝
÷．
44．化简：•÷．
【分析】根据二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵﹣∴x＜0，y＜0，
第17页（共20页）
＞0，﹣＞0，＞0，
原式＝（÷
＝﹣×6
＝﹣8|x2|•|y|． ＝﹣8x2•（﹣y） ＝8x2y． 45．已知：（1）xy； （2）x2﹣xy+y2．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的加法法则求出x+y的值，先根据完全平方公式进行变形，再代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）∵x＝∴xy＝（＝（＝7﹣5 ＝2；
（2）∵x＝∴x+y＝（∵xy＝2， ∴x2﹣xy+y2 ＝（x+y）2﹣3xy ＝（2＝28﹣6 ＝22．
46．数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
．
）2﹣3×2
++
，y＝）+（
﹣﹣
， ）＝2
，
+
）×（）2
+﹣
，y＝）
﹣
，
，
．求下列各式的值．
）2﹣（
第18页（共20页）
【分析】首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解． 【解答】解：依题意得： a＜0＜b，|a|＜|b|， ∴
＝﹣a﹣b+b﹣a﹣b+a ＝﹣a﹣b． 故答案为：﹣a﹣b．
47．若实数p在数轴上的位置如图所示，化简下列式子：
+（
）2
﹣（
）2
【分析】直接利用数轴得出p的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案． 【解答】解：由数轴可得：2＜p＜3， 则原式＝＝3﹣p+4﹣p ＝7﹣2p． 48．阅读下列材料：
在学习完实数的相关运算之后，小明同学提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方的积存在有什么样的关系？小明用自己的方法进行了验证： 小明：而∴
＝5，
＝＝2
＝
×
＝10， +4﹣p
＝5×2＝10即
回答以下问题：
（1）结合材料猜想，当a≥0，b≥0时，请直接写出（2）运用以上结论，计算：①（3）解决实际问题： 已知一个长方形的长为
，宽为
，则长方形的面积为多少？ ；②
和
之间有什么关系？
【分析】（1）根据阅读材料中的例题，即可解答；
第19页（共20页）
（2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答， ②利用（1）的结论，进行计算即可解答；
（3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）当a≥0，b≥0时，（2）①②
＝
＝×
×
＝
；
＝4×5＝20， ＝8×13＝104；
（3）由题意得： 长方形的面积＝×
＝ ＝
＝16，
∴长方形的面积为16．
第20页（共20页）
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