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湖南省 2011 年普通高等学校对口招生考试
数学试题
时量 120 分钟 总分： 120 分
一、选择题 （在本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每一小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的） 1、不等式 ( x
2)( x 1)
0 的解集是
·
·
（B） ( （D） (
· · ·（
）
（A） ( 1,2) （C） [ 1,2] 2、方程 x2
, 1) (2, , 1] [2,
·
) )
px q 0 有解的充要条件是· 0
· · ·（ ）
（ A ） p2 4q
（ B） p2
·
4q 0
（ C） p2
4q
0 （ D） p2
· ·
4q 0
·（
3、下列函数中为指数函数的是
（ A ） y 2x 4、曲线 y
）
（ B） y
2x
（ C） y
x2
（ D） y
log 2 x
·（
sin 2 x
1 2
， x
[0,
] 与直线 y 1的交点个数为
· ·
）
（A）0 5、设复数 z
（B） 1 （ C）2 ·
（D）3 · · （ D） z2
(2 i )i ，则下列命题正确的是
· ·（ ）
（ A ） z 的实部为 2
（ B） | z | 5 （ C） z
1 2i
3 4i
·（
6、数列 { an } 的前 n 项和 Sn
（A）1， 21 7、已知方程
3n2
2 ，则 a1, a4 的值依次为
·
）
（ B） 13， 46 （ C）1， 46
（ D） 3，21
·（
x2 y2
9 k 4 k
1表示双曲线，则 k 的取值范围是
· ·
）
（ A ） k 4 （ B） k 4 （ C） k 9 （ D） 4 k 9 · ·
·（
8、设 a, b 为直线，
（ A ） a / /b,b
为平面，则下列选项能判定
a
的条件是
）
（ B） a
b,b / /
（ C） a / /b, b
（ D） a
b, b
·（
sin ax
9、已知函数 f ( x)
，在点 x 0 处连续，则 a x , x
2 x 3, x 0
0· · ·
）
（A）3
（B）
1
（ C）1
（D）0
·
3
10、函数 y
1 x3 2x2 3 ,1)
3x 5 的单调递减区间为
·（
）
（A） ( （ B） (1,3)
数学试题
（ C） (3,
第1页（共4页）
) （ D）( ,1) (3, )
二、填空题 （本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在答题卡上对应的横线上）
11、设集合 M 12、函数 f ( x) 13、若二次函数
{ x | x2 1}, N
{0,1} ，则 M N
。
2 x lg( x 1) 的定义域为 f ( x) 是偶函数，且满足 f (
1)
（用区间表示） 。
1, f (0) 0 ，则 f ( x) 的表达式是
。
14、从 a,b, c, d 四个字母中任取
3 个，并从 1， 2， 3， 4， 5， 6 这六个数字中任取 2 个，将它们
（用数字作答） 。
排成一列，则所有排列的种数是 15、过点（ 1， 2）且与直线 4x
3 y 5 0 平行的直线的一般式为
OA
。
16、设 O 是三角形 ABC 所在平面外一点，若
角度是
。
OC , BA BC 则异面直线 AC 与 BO 所成的
三、解答题 （本大题共 7 小题，其中第 22、23 小题为选做题，共 简演算步骤）
50 分，解答应写出文字说明或
17、（本题满分 8 分）
已知 sin(
)
2 , 3
（ 1）求 sin
，（2 分）
（ 2）求 sin 2 (cot
2
tan ) 的值。（ 6 分）
2
18、（本题满分 8 分）
设数列 { an } 为等差数列，数列 { bn} 为等比数列， （ 1）若 a
1
3, a
10
39，求S .（4 分）
50
（ 2）若 b2 a4 ， b1 b2 20 ，求 b4 . （4 分）
数学试题 第2页（共 4页）
19、（本题满分 8 分）
已知平面上的三点
A(4,0), B( 2,2), C (2,4) ， D 为 AB 的中点。
（ 1）求 D 点的坐标。（2 分）
（ 2）若向量 a (1,2 k) 与 CD 垂直，求 k 的值。（ 6 分）
20、（本题满分 10 分）
已知椭圆 C：
y2
2
2
a
x 2 1 ( a b 0) ，其焦距与长轴长之比为 b
2
，两个焦点分别为
F1, F2 ，点 P 是坐标平面内一点，且 |OP |
5
, PF1 PF2
1
2
（ O 为坐标原点） 。
2 4
（ 1）求椭圆的标准方程。 （4 分）
（2）过点 D (
1
3
,0) 且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A 、B 两点，在 x 轴上是否存在定点
M ，
使以 AB 为直径的圆恒过这个点。 分）
若存在， 求出点 M 的坐标； 若不存在， 说明理由。（ 6
21、（本题满分 8 分）
日本大地震导导致核电站发生泄漏事故。 洲、南美、北美、非洲等地区调查了 比例为 43 ，现从该地区随机抽查
3 月 21 日至 4 月 10 日，某调查机构在亚洲、
欧
3 万 4 千人。结果显示，地震后反对核电站建设的人数 10 人，
（ 1）估计约有多少 1 反对核电站建设。 （精确到个位） （ 4 分）
（ 2）求至少有 1 人反对核电站建设的概率。 （精确到 0.001）（ 4 分）
数学试题 第3页（共4页）
四、选做题 （注意：第 22、 23 题任选一题作答，若全部作答，则只评阅第 22、（本题满分 8 分）
设
22 小题。）
（ 1）求 a 的值。（ 4 分）
( ) ( 1) ax ,( f x x x e )
a R ，且 f (x) 在 x 0 处取得极值，
（ 2）设 g (x)
bf ( x) ，若曲线 y
x
g(x) 在 x
1对应点处的切线垂直于直线
y
1
3
x 2 ，
求 b 的值。（ 4 分）
23、（本题满分 8 分）我国铁路运输迈入高铁时代，高速铁路建设速度快、条件好，但票价高昂。
已知某高速铁路某路段每年满负荷运力为
2000 万人次， 当票价为 600 元时， 年实际运送量约
300 万人次。
800 万人次，估计票价每下降
100 元，实际运送量将提高
y（单位：元）与票价
（ 1）设票价为 x 元，写出售票收入
x 之间的函数关系式，并指明函数
的定义域。（ 4 分）
（ 2）当票价定为多少时，售票收入最大？（
4 分）
数学试题 第4页（共 4页）
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