2021高考数学全国甲卷文科试卷及解析

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2021

年高考全国甲卷数学试题及解析（文科）

（适用于：四川、贵州、云南、广西、西藏）

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合M1,3,5,7,9,Nx2x7，则MA. 7,9 【答案】B 【解析】

【分析】求出集合N后可求MN.

【详解】N,，故MN5,7,9， 故选：B.

2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

B. 5,7,9

N（ ）

C. 3,5,7,9

D. 1,3,5,7,9

72

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

1

D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C 【解析】

【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C. 【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%,故A正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%,故B正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为

0.100.140.2020.6464%50%,故D正确；

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为

30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68(万元)，超过

6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.

【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于

2频率组距. 组距3. 已知(1i)z32i，则z（ ） A. 13i 2B. 13i 2C. 3i 2D. 3i 2【答案】B 【解析】

2

【分析】由已知得z32i，根据复数除法运算法则，即可求解. 2i【详解】(1i)2z2iz32i，

z32i(32i)i23i31i. 2i2ii22故选：B.

4. 下列函数中是增函数的为（ ） A. fxx 【答案】D 【解析】

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，fxx为R上的减函数，不合题意，舍.

2B. fx

3xC. fxx

2D.

fx3x 2对于B，fx为R上的减函数，不合题意，舍. 3对于C，fxx在,0为减函数，不合题意，舍.

2x对于D，故选：D.

fx3x为R上的增函数，符合题意，

x2y21的一条渐近线的距离为（ ） 5. 点3,0到双曲线169A.

9 5B.

8 5C.

6 5D.

4 5【答案】A 【解析】

【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.

x2y2【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：0，即3x4y0，

169结合对称性，不妨考虑点3,0到直线3x4y0故选：A.

6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录

距离：d909.

9165 3

视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L5lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（10101.259） A. 1.5 【答案】C 【解析】

【分析】根据L,V关系，当L4.9时，求出lgV，再用指数表示V，即可求解. 【详解】由L5lgV，当L4.9时，lgV0.1，

0.1110B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6

则V101010110.8. 1.25910故选：C.

7. 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】

【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断. 【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

4

所以其侧视图为

故选：D

8. 在ABC中，已知B120，AC19，AB2，则BC（ ） A. 1 【答案】D 【解析】

【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设ABc,ACb,BCa，

结合余弦定理：b2a2c22accosB可得：19a242acos120， 即：a22a150，解得：a3（a5舍去）， 故BC3. 故选：D.

【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角；

(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．

9. 记Sn为等比数列an的前n项和.若S24，S46，则S6（ ） A. 7 【答案】A 【解析】

B. 8

C. 9

D. 10

B. 2 C. 5 D. 3

5

【分析】根据题目条件可得S2，S4S2，S6S4成等比数列，从而求出S6S41，进一步求出答案. 【详解】∵Sn为等比数列an的前n项和， ∴S2，S4S2，S6S4成等比数列 ∴S24，S4S2642 ∴S6S41， ∴S61S4167. 故选：A.

10. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5

C. 0.6

【答案】C 【解析】

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，

共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

01011,01101,01110,10101,10110,11010，

共6种方法，

故2个0不相邻的概率为610=0.6， 故选：C. 11. 若0,2,tan2cos2sin，则tan（ ） A.

1515 B.

55 C.

53 【答案】A 【解析】

6

D. 0.8

D.

153

【分析】由二倍角公式可得tan2角函数的基本关系即可求解. 【详解】

sin22sincos1sin，再结合已知可求得，利用同角三

4cos212sin2cos

2sinsin22sincoscostan2，

cos212sin22sintan22sin110,，cos0，sin，解得，

412sin22sin2cos1sin2故选：A.

15sin15. ，tan4cos15【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin. 12. 设fx是定义域为R的奇函数，且f1xfx.若fA. 131，则35f（ ） 35 35 3B. 1 3C.

1 3D.

【答案】C 【解析】

【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f的值.

53522ff1f【详解】由题意可得：f333而f2， 3211f1ff3331. 311， 33故f故选：C.

53【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若向量a,b满足a3,ab5,ab1，则b_________.

7

【答案】32 【解析】

【分析】根据题目条件，利用ab模的平方可以得出答案 【详解】∵ab5

∴abab2ab9b225 ∴b32. 故答案为：32. 14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30则该圆锥的侧面积为________. 【答案】39 【解析】

【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.

2【详解】∵V6h30

222213∴h5 22135∴lh2r262 22∴S侧rl6故答案为：39.

1339. 2

15. 已知函数fx2cosx的部分图像如图所示，则f_______________. 2 8

【答案】3 【解析】

【分析】首先确定函数的解析式，然后求解f的值即可. 2【详解】由题意可得：T当x341332,T,2， 1234T1313132k,2kkZ， 时，x212612令k1可得：6，

据此有：fx2cos2x故答案为：3. 5,f2cos22cos3. 62266【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝

2即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则T令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

22xyP，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且PQF16. 已知F1,F2为椭圆C：1的两个焦点，1F2，

164 9

则四边形PFQF12的面积为________． 【答案】8 【解析】

mn，四【分析】根据已知可得PF1PF2，设|PF1|m,|PF2|n，利用勾股定理结合mn8，求出mn，即可求解. 边形PFQF12面积等于

【详解】因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且|PQ||F1F2|，所以四边形PFQF12为矩形，

22设|PF1|m,|PF2|n，则mn8,mn48，

所以64(mn)2m22mnn2482mn，

mn8，即四边形PFQF12面积等于8.

故答案为：8.

三､解答题：共70分.解答应写出交字说明､证明过程程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.

17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

甲机床 乙机床 合计 一级品 150 120 270 二级品 50 80 130 合计 200 200 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

2n(adbc)2附：K

(ab)(cd)(ac)(bd)PK2k 0.050 0.010 0.001 10

k

3.841 6.635 10.828 【答案】（1）75%；60%； （2）能. 【解析】

【分析】根据给出公式计算即可

【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为

15075%, 200乙机床生产的产品中的一级品的频率为

12060%. 200（2）K240015080120502701302002002400106.635, 39故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异. 18. 记Sn为数列an的前n项和，已知an0,a23a1，且数列列.

【答案】证明见解析. 【解析】

【分析】先根据S2S1求出数列式，最终得证. 【详解】∵数列

S是等差数列，证明：a是等差数

nnS的公差d，进一步写出S的通项，从而求出a的通项公

nnnSn等差数列，设公差为dS2S1a2a1a1a1 ∴Sna1(n1)a1na1，(nN) ∴Sna1n，(nN)

2∴当n2时，anSnSn1a1na1n12a1na1

22当n1时，2a11a1=a1，满足an2a1na1， ∴an的通项公式为an2a1na1，(nN) ∴anan12a1na12a1n1a1=2a1

11

∴an是等差数列.

【点睛】在利用anSnSn1求通项公式时一定要讨论n1的特殊情况.

19. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，BFA1B1.

（1）求三棱锥FEBC的体积；

（2）已知D为棱A1B1上的点，证明：BFDE. 【答案】(1)【解析】

【分析】(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；

(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.

【详解】(1)如图所示，连结AF，

1；(2)证明见解析. 3 12

由题意可得：BFBC2CF2415，

BCB，故AB平面BCC1B1，

由于AB⊥BB1，BC⊥AB，BB1而BF平面BCC1B1，故ABBF， 从而有AF从而ACAB2BF2453， AF2CF29122，

则AB2BC2AC2,ABBC，ABC为等腰直角三角形，

S△BCE111111s△ABC221，VFEBCS△BCECF11. 222333(2)由(1)结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体ABCMA1B1C1M1，如图所示，取棱AM,BC的中点H,G，连结A1H,HG,GB1，

正方形BCC1B1中，G,F为中点，则BFB1G， 又BFA1B1,A1B1B1GB1，

13

故BF平面A1B1GH，而DE平面A1B1GH， 从而BFDE.

【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.

2220. 设函数f(x)axax3lnx1，其中a0.

（1）讨论fx的单调性；

（2）若yfx的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围. 【答案】（1）fx的减区间为0,【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

（2）根据f10及（1）的单调性性可得fxmin0，从而可求a的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为0,， 又f(x)

111,+a2. ，增区间为；（）aea2ax3(ax1)，

x因为a0,x0，故2ax30，

当0x11时，f(x)0；当x时，f(x)0； aa



11,+，增区间为.

aa所以fx的减区间为0,

2（2）因为f1aa10且yfx的图与x轴没有公共点， 所以yfx的图象在x轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得fxminf故33lna0即a1133ln33lna， aa1. e【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转

14

化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.

21. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：x1交C于P，Q两点，且OPOQ．已知点M2,0，且（1）求C，

M与l相切．

M的方程；

M相切．判断直线A2A3与M的位置关系，

（2）设A1,A2,A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与并说明理由．

【答案】（1）抛物线C:y2x，【解析】

M方程为(x2)2y21；（2）相切，理由见解析

【分析】（1）根据已知抛物线与x1相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P,Q坐标，由OPOQ，即可求出p；由圆M与直线x1相切，求出半径，即可得出结论；

（2）先考虑A1A2斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若A1,A2,A3三1A2,A1A3,A2A3斜率存在，由A点在抛物线上，将直线A1A2,A1A2,A2A3斜率分别用纵坐标表示，再由A1A2,A1A2与圆M相切，得出

y2y3,y2y3与y1的关系，最后求出M点到直线A2A3的距离，即可得出结论.

【详解】（1）依题意设抛物线C:y2px(p0),P(1,y0),Q(1,y0)，

2OPOQ,OPOQ1y012p0,2p1，

2所以抛物线C的方程为y2x，

M(0,2),M与x1相切，所以半径为1，

所以

M的方程为(x2)2y21；

（2）设A1(x1y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)

若A1A2斜率不存在，则A1A2方程为x1或x3， 若A1A2方程为x1，根据对称性不妨设A1(1,1)， 则过A1与圆M相切的另一条直线方程为y1，

此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意； 若A1A2方程为x3，根据对称性不妨设A1(3,3),A2(3,3),

15

则过A1与圆M相切的直线A1A3为y33(x3)， 3又kA1A3y1y3113,y30，

x1x3y1y333y3x30,A3(0,0)，此时直线A1A3,A2A3关于x轴对称，

所以直线A2A3与圆M相切； 若直线A1A2,A1A3,A2A3斜率均存在， 则kA1A2111,kA1A3,kA2A3，

y1y2y1y3y2y31xx1，

y1y2所以直线A1A2方程为yy1整理得x(y1y2)yy1y20，

同理直线A1A3的方程为x(y1y3)yy1y30， 直线A2A3的方程为x(y2y3)yy2y30，

A1A2与圆M相切，22|2y1y2|1(y1y2)221

整理得(y11)y22y1y23y10，

22A1A3与圆M相切，同理(y11)y32y1y33y120

所以y2,y3为方程(y11)y2y1y3y10的两根，

2222y13y12y2y32,y2y32，

y11y11M到直线A2A3的距离为：

3y12|22||2y2y3|y11 22y1(y2y3)1(21)2y11y12121，

222y11(y11)4y1|y121| 16

所以直线A2A3与圆M相切；

综上若直线A1A2,A1A3与圆M相切，则直线A2A3与圆M相切

【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用A1A2,A1A3的对称性，抽象出y2y3,y2y3与y1关系，把

y2,y3的关系转化为用y1表示.

(二)选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

22cos．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为1,0，M为C上的动点，点P满足AP程，并判断C与C1是否有公共点． 【答案】（1）x2.2AM，写出Р的轨迹C1的参数方

2（2）P的轨迹C1的参数方程为y2；

2x322cos（为参数），C与

y2sinC1没有公共点.

【解析】

【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为222cos，将xcos,ysin代入可得； （2）设Px,y，设M22cos,2sin，根据向量关系即可求得P的轨迹C1的参数方程，求出

两圆圆心距，和半径之差比较可得.

【详解】（1）由曲线C的极坐标方程22cos可得222cos， 将xcos,ysin代入可得x2y222x，即x2即曲线C的直角坐标方程为x2（2）设Px,y，设M2y22，

2y22；

22cos,2sin

AP2AM，

x1,y222cos1,2sin22cos2,2sin，

 17

x122cos2x322cos则，即，

y2siny2sin故P的轨迹C1的参数方程为曲线C的圆心为

x322cos（为参数）

y2sin2,0，半径为2，曲线C1的圆心为32,0，半径为2，

则圆心距为322，

32222，两圆内含，

故曲线C与C1没有公共点.

【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M的参数坐标，利用向量关系求解.

[选修4-5：不等式选讲]

23. 已知函数f(x)x2,g(x)2x32x1．

（1）画出yfx和ygx的图像； （2）若fxagx，求a的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2）a【解析】

【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；

（2）根据函数图像数形结和可得需将yfx向左平移可满足同角，求得yfxa过A的值可求.

【详解】（1）可得f(x)x211 21,4时a22x,x2，画出图像如下：

x2,x2 18

34,x231g(x)2x32x14x2,x，画出函数图像如下：

2214,x2

（2）f(xa)|xa2|， 如图，

同一个坐标系里画出fx,gx图像，

yfxa是yfx平移了a个单位得到，

则要使f(xa)g(x)，需将yfx向左平移，即a0， 当yfxa过A11151,4时，|a2|4，解得a或（舍去）， 22221111. 个单位，a22则数形结合可得需至少将yfx向左平移

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【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.

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