奶制品生产

数学建模

题 目：学 院：数理与信息工程学院专 业：数学与应用数学组 员：指导老师：评 分：

奶制品的生产与销售

1 问题重述

奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工完成3kgA1，或者在乙类设备上用8h加工成4kgA2.根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每千克A1获利24元，每千克A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480h，并且甲类设备每天至多能加工100kgA1，乙类设备的加工能力没有限制。制定一个生产计划使得获利最大。

2 问题分析

该优化问题的目标是使每天的获利达到最大。需要做的决策是生产计划，就是每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2。决策受到三个条件的限制：牛奶的供应、工人的劳动时间、甲类设备的加工能力。

3 模型假设

1.A1，A2两种奶制品每千克的获利是与他们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1，A2的数量和所需的时间是与它们各自产量无关的常数

2.A1，A2每千克的获利是与他们相互间产量无关的常熟，每桶牛奶加工出A1，A2的数量和所需的时间是与他们互相间产量无关的常熟

3.加工A1，A2的牛奶的桶数可以是任意的实数

4 模型的建立与求解

4.1 模型的建立 1.决策变量

设每天用𝑥1桶牛奶生产A1，用𝑥2桶牛奶生产A2 2.目标函数

设每天获利为𝑧元，𝑥1桶牛奶生产3𝑥1kgA1，获利24×3𝑥1，𝑥2桶牛奶生产4𝑥2kgA2，获利16×4𝑥2，故𝑧=72𝑥1+64𝑥2

3.约束条件 （1）原料供应

生产A1和A2的原料总量不得超过每天的供应，即𝑥1+𝑥2≤50 （2）劳动时间

生产A1和A2的总加工时间不得超过每天的供应，即12𝑥1+8𝑥2≤480 （3）设备能力

A1的产量不得超过甲类设备每天的加工能力，即3𝑥1≤100 （4）非负约束

𝑥1，𝑥2均不能为负值，即𝑥1≥0，𝑥2≥0

综上可得，

𝑚𝑎𝑥 𝑧=72𝑥1+64𝑥2 12𝑥1+8𝑥2≤480 3𝑥1≤100 𝑥1≥0，𝑥2≥0

4.2 模型的求解

在LINGO下新建一个模型文件（即LINGO程序），像书写模型上式一样，直接输入：

Model:

Max=72x1+64x2; [milk] x1+ x2<50 [time] 12x1+ 8x2<480 [cpct] 3 x1<100 End

将文件存储并命名后，运行程序可得如下结果：

上面结果的前2行告诉我们，LINGO求出了模型的全局最优解，最优值为3360，迭代次数为2次，后三行告诉我们，这个线性优化的最优解为𝑥1=20，𝑥2=30（即用20桶牛奶生产A1，30桶牛奶生产A2）。