高三数学第一轮复习空间向量及其运算知识精讲

【本讲主要内容】

空间向量及其运算

空间向量的概念、加法、减法、数乘、数量积的定义及其性质、运算．

【知识掌握】 【知识点精析】

（一）空间向量及其加减与数乘运算

1. 空间向量的有关概念

（1）把具有大小和方向的量叫做向量，其长度叫做空间向量的模． （2）同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 2. 空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律

（1）加法交换律：abba

（2）加法结合律：(ab)ca(bc)

（3）数乘分配律：(ab)ab

3. 共线向量与共面向量

（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合．记作a∥b．

共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，a∥b的充要条件是存在实数（具

有唯一性），使ab．

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t，满足等式

OPOAta． ①

其中向量a叫做直线l的方向向量．

在l上取ABa，则①式可化为

OPOAtAB，或OP(1t)OAtOB ②

1当t，点P是线段AB的中点，则

21OP(OAOB) ③

2①或②都叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式．

（2）共面向量：若向量a使之平行于平面或a在内，则a与的关系是平行，记作a∥．

共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x、y使Pxayb．

推论1：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使

MPxMAyMB

或对空间一点O，有

OPOMxMAyMB ①

①式叫做平面MAB的向量表示式．

推论2：空间任一点和不共线三点、B、C，则OPxOAyOBzOC(xyz1)．．．O．．．．．．．A．．．．．是

P，A，B，C

四点共面的充要条件．（简证：

OP(1yz)OAyOBzOCAPyABzACP、A、B、C四点共面）

注：推论1和推论2是证明四点共面的常用方法．

4. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量P，存在一个．．．．a,b,c不共面．．．唯一的有序实数组x、y、z，使pxaybzc．

由此可知，如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是

ppxaybzc,x,y,zR．这个集合可看作是由a,b,c生成的，把{a,b,c}叫做空

间的一个基底，a,b,c都叫做基向量．

推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 OPxOAyOBzOC（这里隐含x＋y＋z≠1）．

注：设四面体ABCD的三条棱，ABb,ACc,ADd,其中Q是△BCD的重心，则向量AQ1(abc)（用AQAMMQ即证）． 3 A D B M C Q

5. 两个向量的数量积

ac（分配律）*

（1）已知空间向量a,b,则abcosa,b叫做向量a,b的数量积，记作ab．即

ab＝abcosa,b

2（2）性质： ① aeacosa,e．② abab0．③ aaa

（3）运算律：①(a)b(ab) ②abba（交换律）．③a(bc)ab

（二）空间向量的坐标运算

1. 空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵坐标），z轴是竖轴（对应为竖坐标）．

①令a＝（a1,a2,a3）,b(b1,b2,b3)，则

ab(a1b1,a2b2,a3b3)，

a(a1,a2,a3)(R)

aba1b1a2b2a3b3

a∥ba1b1,a2b2,a3b3(R)aba1b1a2b2a3b30 22aaaa12a2a3

abcosa,b|a||b|a1a2a3 b1b2b3（用到常用的向量模与向量之间的转化：a2aaaaa）

a1b1a2b2a3b3aaabbb212223212223

②空间两点的距离公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2．

2. 法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量．

3. 应用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中A，则点B到平面的距离为|ABn||n|．

An▲BBCA▲n1CDEn2

②利用法向量求二面角的平面角定理：如图，设n1,n2分别是二面角l中平面,的法向量，则n1,n2夹角的大小就是所求二面角的平面角或其补角的大小．

An▲BBCA▲n1CDEn2

③证直线和平面平行定理：如图，已知直线a平面，A,Ba,C,D,E，且C,D,E三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对,使ABCDCE．（常设． ABCDCE求解,若,存在即证毕，若,不存在，则直线AB与平面相交）

An▲BBCA▲n1CDEn2

④证直线和平面垂直定理：设n是平面的一个法向量，AB，CD是平面内的两条相交直线，若nAB0，nCD0，则n



【解题方法指导】

例1. 判断下列命题的真假

①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．（×） [当b0时，不成立] ②向量a,b,c共面即它们所在直线共面．（×） [可能异面] ③若a∥b，则存在一实数，使ab．（×）[与b0不成立] ④若a为非零向量，则0a0．（√）[这里用到b(b0)之积仍为向量]

例2. 如图，边长为2的正方形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，AB＝AD，ABAD，

AC32，ACBD，垂足为M．

（Ⅰ）求：异面直线BD与CF所成角的大小；

（Ⅱ）求二面角ACFD的大小．

z FENMBADy Cx 解：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系Mxyz，

则C(22,0,0)，B(0,2,0)，D(0,2,0)，F(2,0,2)，

BD(0,22,0)，FC(32,0,2)

∴BDFC0 BDFC

异面直线BD与CF所成角的大小为900．

（II）设n ＝（x，y，z，）为平面CFD的法向量，FC(32,0,2)，FD(2,2,2)

32x2z0nFC0由，， 2x2y2z0nFD0令z3，则x2，y22

n(2,22,3)

MDAC，MD平面ACF

平面ACF的法向量MD(0,2,0)．

则cosn,MDnMDnMD4238． 19192238． 二面角ACFD的大小为arccos19

【考点突破】

【考点指要】

随着新教材的逐步推广、使用，“向量”将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念，数量积及其运算率．2005年全国16套试卷中，有12套试卷，2006年的全国18套试卷中，有14套试卷都在解答题中考查了用空间向量知识，解决数学问题的能力．

在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题越来越受青睐，比用传统立体几何的方法简便快捷．空间向量的数量积及坐标系运算仍是高考命题的重点，解答题大都属于中档题，分值一般在13分左右．

【典型例题分析】

例1. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、 B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、 P（0，0，2）、E（0，

1，1）， 2从而AC(3,1,0),PB(3,0,2). 设AC与PB的夹角为θ，则

cosACPB|AC||PB|32737, 14 （Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），则

1NE(x,,1z)，由NE⊥面PAC可得，

2NEAP0,NEAC0.13z10,(x,,1z)(0,0,2)0,x2 ∴6 即化简得13x0.z1(x,1,1z)(3,1,0)0.2233． ,0,1)，从而N点到AB、AP的距离分别为1，

66即N点的坐标为(评述：本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运

算能力．

例2. 如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD3，BDCD1，另一侧面ABC是正三角形．

（1）求证：AD⊥BC；

（2）求二面角BACD的大小；

（3）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．

A D B C

解：（1）作AH⊥面BCD于H，连BH，CH，DH，则四边形BHCD是正方形，且AH1，

以D为原点，以DB为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图，

A z E x Ｂ Ｏ H Ｄ Ｃ y

，0，，0)C(01，，，0)A(111)，，． 则B(1

BC(110)，，，DA(111)，，，

∴BCDA0，则BC⊥AD．

（2）设平面ABC的法向量为n1(x，y，z)， 则由n1⊥BC知：n1BCxy0； 同理由n1⊥CA知：n1CAxz0． 可取n1(11，，1)．

同理，可求得平面ACD的一个法向量为n2(10，，1)． 由图可以看出，二面角BACD的大小应等于n1，n2

n1n210166则cosn1,n2，即所求二面角的大小是arccos． 3n1n2332（3）设E(x，y，z)是线段AC上一点，则xz0，y1，

平面BCD的一个法向量为n(0，01)，，DE(x，1，x)， 要使ED与面BCD成30角，由图可知DE与n的夹角为60，

DEnx1所以cosDE,n． cos602212xDEn则2x12x2，解得，x2，则CE2x1． 2故线段AC上存在E点，且CE1时，ED与面BCD成30角．

【综合测试】

一. 选择题

1. 在以下4个式子：abc,abc,abc,abab中正确的有 （ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个

2. 点O，A，B，C为空间四个点，又OA,OB,OC为空间的一个基底，则（ ）

A. O，A，B，C四点不共线 C. O，A，B，C四点中任三点不共线 A. 有共同起点的向量 C. 是共面向量

B. O，A，B，C四点共面，但不共线 D. O，A，B，C四点不共面 B. 是等长的向量 D. 是不共面向量

3. 在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，向量AB',AD',BD是（ ）

4. 若a(2x,1,3),b(1,2y,9)如果a与b为共线向量，则（ ）

11,y 221313C. x,y D. x,y

62625. 已知向量a(1,1,0),b(1,0,2)且kab与2ab互相垂直，则k的值是（ ）

A. x＝1，y＝1

B. xA. 1 二. 填空题

B.

1 5C.

37 D. 556. 已知a(1,0),b(m,m)(m0),则a,b______________

7. 已知四边形ABCD中，ABa2c,CD5a6b8c，对角线AC、BD的中点分别为

E、F，则EF_____________ 8. A（1，0，1），B（4，4，6），C（2，2，3），D（10，14，17）这四个点是否共面________（共面或不共面）

三. 解答题

9. 在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与

o

CD成60角，求B、D间的距离．

B A D o

10. 设A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，7），D（－5，－4，8）求D到平面ABC的距离．

11. （2006湖南理18）如图，已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高分别为1和2，AB＝4.

（Ⅰ）证明PQ平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线AQ与PB所成的角； （Ⅲ）求点P到平面QAD的距离．

C P D C A B Ｑ

综合测试答案

一. 选择题

1. 解析：根据数量积的定义，bc是一个实数，abc无意义，abc实数与向量无

数量积，ababcosa,b

答案：A

2. 解析：不共面的三个向量才能作为空间的一个基底 答案：D

3. 解析：因为ADAB'B'D'BD，所以AB',AD',BD共面 答案：C 4. 解析：

2x13 12y95. 解析：kab(k-1,k,2)，2ab(3,2,-2)因为kab与2ab互相垂直

所以3（k－1）＋2k－4＝0 答案：D

二. 填空题

答案：C

6. 解析：∵cosa,b1，∴a,b45

答案：45

o

7. 解析：EFEAABBF，EFECCBDF两式相加得

11EF(ABCD)(a2c5a6b8c)3a3b5c

22答案：3a3b5c

8. 解析：AB(3,4,5),AC(1,2,2),AD(9,14,16)，设ADxAByAC 即（9，14，16）＝（3x＋y，4x＋2y，5x＋2y）所以x＝2，y＝3，从而A、B、C、D四点共面

答案：共面

三. 解答题

9. 解：如图，因为ACD90，所以ACCD0，

D C A oB

同理BAAC0,因为AB与CD成60角

o

所以BA,CD60o或120o

因为BDBAACCD，所以

BDBAACCD2BAAC2BACD2CDACBAACCD2BACD3211cosBA,CD 22222222BA,CD60o4BA,CD120o所以BD2或2，即B、D间的距离是2或2 10. 解：设平面ABC的法向量n＝（x，y，z）

nAB0,nAC0(x,y,z)(2,2,1)0(4,0,6)0 (x,y,z)即2x2yz0x34x6z02z

yz令z＝－2，则n＝（3，2，－2）

cosn,AD3(7)2(7)27

3222(2)2(7)2(7)272所以D到平面ABC的距离d＝ADcosn,AD4917491717 11. 解：（I）连结AC，BD，设ACBDO． 因为PABCD与QABCD都是正四棱锥， 所以PO平面ABCD，QO平面ABCD．

从而P，O，Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD．

（II）由题设知，ABCD是正方形，所以ACBD．

由（I），PQ平面ABCD，故可分别以直线CA，DB，QP为x轴，立空间直角坐标系（如图），

z P D O C x A B y Q

由题设条件，相关各点的坐标分别是

P(0，0，1)，A(22，0，，0)Q(0，0，2)，B(0，22，0)．

所以AQ(22，0，2)，PB(0，22，1)．

y轴，z轴建于是cosAQ,PBAQPBAQPB3． 93． 9（III）由（II），点D的坐标是(0， 22，，0)PQ(0，0，3)，22，0)，AD(22，nAQ02xz0设n(x得． ，y，z)是平面QAD的一个法向量，由nAD0xy0取x1，得n(1，1，2)．

PQn32所以点P到平面QAD的距离d． n2从而异面直线AQAQ与PB所成的角是arccos