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2021年甘肃省学业水平考试模拟试卷（1）
高中数学
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分。
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝( ) A．{1,3,5,6} C．{2,4,7}
B．{2,3,7} D．{2,5,7}
2．函数f(x)＝x＋1
的定义域为( ) x－1
A．[－1,1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞) 3．函数y＝D．(－1,1)∪(1，＋∞)
－1
＋1的图象是下列图象中的( ) x－1
4．如下所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )
A B C D
5．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套
1
出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200双 C．600双
B．400双 D．800双
2
x－2的斜率的2倍的直线方程是( ) 2
B．y＝1
D．y－1＝22(x＋1)
6．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝A．x＝－1 C．y－1＝2(x＋1)
7.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是 ( )
A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样
D.既是随机抽样，又是分层抽样
8．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的 大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A．3 C．18
B．6 D．36
10．在空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是( ) A．243 B．221 C．9 D. 86
x＋1，x≤1，
11．设函数f(x)＝2
，x＞1，x
2
则f(f(3))＝( )
2
1A. 52C. 3
B．3
D.
13 9
12．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实a的取值范围是( )
A．a≤2 B．a≥－2 C．－2≤a≤2
D．a≤－2或a≥2
13．设α是第三象限角，且
cos α2＝－cos αα2，则2的终边所在的象限是( A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
14．tan －353π
的值是( )
A．－33
B．3
C．－3 D．
33
15．下列命题中的真命题是( ) A．单位向量都相等 B．若a≠b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠b D．若|a|＝|b|，则a∥b
16．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( ) A．(－15,12) B．0 C．－3
D．－11
)
3
数
17．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( ) A．－4 C．－2
B．－3 D．－1
18.如表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据： 月份x 1 2 4 3 3 4 2.5 用水量y 4.5 由表格可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=-0.7x+，则= ( ) A.10.5
B.5.15
C.5.2
D.5.25
19．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为
x－y＋1＝0，则直线PB的方程为( )
A．x＋y－5＝0 C．2y－x－4＝0
B．2x－y－1＝0 D．2x＋y－7＝0
→→
20．已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 C．λμ＝－1
B．λ－μ＝1 D．λμ＝1
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
21．设集合M＝{x|x是小于5的质数}，则M的真子集的个数为__________． 解析：由题意可知M＝{2,3}，∴M的真子集有∅，{2}，{3}共3个．
22．在如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，已知A1(a，0，c)，C(0，b，0)，则点B1
的坐标为________．
4
23．若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________．
→→
24．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝→→
(2,1)，则AD·AC＝__________. 三、解答题（共3小题，共28分）
25.(本小题满分8分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，c∥d
26．(10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R. (1)求A∪B，(∁UA)∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
27．(本小题满分10分)已知圆C的方程是(x－1)＋(y－1)＝4，直线l的方程为y＝
2
2
x＋m，求当m为何值时，
(1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．
2021年甘肃省学业水平考试模拟试卷（1）
高中数学 解析版
四、单项选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分。
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝( ) A．{1,3,5,6}
B．{2,3,7}
5
C．{2,4,7} D．{2,5,7}
解析：∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}， ∴∁UA＝{2,4,7}． 答案：C
2．函数f(x)＝x＋1
的定义域为( ) x－1
A．[－1,1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞)
D．(－1,1)∪(1，＋∞)
x＋1≥0，
解析：由函数解析式得
x－1≠0，
解得x≥－1，且x≠1.
故函数的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选A. 3．函数y＝－1
＋1的图象是下列图象中的( ) x－1
－1
解析：当x＝0时，y＝＋1＝2.故排除B，D；
0－1－1
当x＝2时，y＝＋1＝－1＋1＝0.故排除C.选A.
2－1
4．如下所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )
A B C D
6
A [由几何体的直观图的画法及主体图形中虚线的使用，知A正确．]
5．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200双 C．600双
B．400双 D．800双
解析：要使该厂不亏本，只需10x－y≥0， 即10x－(5x＋4 000)≥0，解得x≥800. 答案：D
2
x－2的斜率的2倍的直线方程是( ) 2
B．y＝1
D．y－1＝22(x＋1)
6．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝A．x＝－1 C．y－1＝2(x＋1)
C [直线y＝22
x－2的斜率为，由题意可知所求直线的斜率为2，直线方程为y22
－1＝2(x＋1)，故选C.]
7.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是 ( )
A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样
D.既是随机抽样，又是分层抽样
【解析】选C.由系统抽样的概念可知，该抽样方法为系统抽样.
8．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的 大小为( )
7
A．30° B．45° C．60° D．90°
B [当三棱锥DABC的体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，连接OD，OB(图略)，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.]
9．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A．3 B．6 C．18
D．36
解析： ∵l＝αr，∴6＝1×r.∴r＝6. ∴S＝11
2lr＝2×6×6＝18.
答案： C
10．在空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是( A．243 B．221 C．9 D. 86 D [由空间直角坐标系中两点间的距离公式得：|AB|＝（－3－2）2
＋（4＋1）2
＋（0－6）2
＝86.]
x2
＋1，x≤111．设函数f(x)＝，2
x，x＞1，
则f(f(3))＝( )
A.1
5 B．3
C.23
D.
13
9
解析：“分段”求解．
由题意知f(3)＝23，f23＝232
＋1＝139，
∴f(f(3))＝f2313
＝9
.
答案：D
) 8
12．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是( )
A．a≤2 C．－2≤a≤2
B．a≥－2 D．a≤－2或a≥2
解析：∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)．∴|a|≥2，得a≤－2或a≥2.
答案：D
13．设α是第三象限角，且
cos α2＝－cos αα2，则2的终边所在的象限是( A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
解析： ∵α是第三象限角， ∴π＋2kπ＜α＜3π
2＋2kπ，k∈Z.
∴πα3π
2＋kπ＜2＜4
＋kπ，k∈Z. ∴α2
在第二或第四象限． 又∵
cos α2
＝－cos α，∴cos α22＜0.
∴α2是第二象限角．
答案： B
14．tan 35－3π
的值是( ) A．－33
B．3
)
9
C．－3 D．
3 3
35解析： tan－π 3
π＝－tan12π－ 3π
＝tan ＝3.
3答案： B
15．下列命题中的真命题是( ) A．单位向量都相等 B．若a≠b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠b D．若|a|＝|b|，则a∥b
解析： 只有大小相等和方向相同的向量才是相等向量，大小不相等的向量一定不是相等向量．
答案： C
16．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( ) A．(－15,12) C．－3
B．0 D．－11
解析： a＋2b＝(－5,6)，(a＋2b)·c＝－3. 答案： C
17．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( ) A．－4 C．－2
B．－3 D．－1
10
解析： 因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋
n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
答案： B
18.如表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据： 月份x 1 2 4 3 3 4 2.5 用水量y 4.5 由表格可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=-0.7x+，则= ( ) A.10.5
B.5.15
C.5.2
D.5.25
【解析】选D.由于线性回归方程必经过点(，)，
而=，=，所以=-0.7×+，
所以=5.25.
19．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为
x－y＋1＝0，则直线PB的方程为( )
A．x＋y－5＝0 C．2y－x－4＝0
B．2x－y－1＝0 D．2x＋y－7＝0
A [由已知得A(－1，0)，P(2，3)，由|PA|＝|PB|，得B(5，0)，由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0.]
→→
20．已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 C．λμ＝－1
B．λ－μ＝1 D．λμ＝1
11
→→→→
解析： 因为A，B，C三点共线，所以AB∥AC，设AB＝mAC(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μλ＝m，
b)，所以
1＝mμ，
所以λμ＝1.
答案： D
五、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
21．设集合M＝{x|x是小于5的质数}，则M的真子集的个数为__________． 解析：由题意可知M＝{2,3}，∴M的真子集有∅，{2}，{3}共3个． 答案：3
22．在如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，已知A1(a，0，c)，C(0，b，0)，则点B1
的坐标为________．
(a，b，c) [由题图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点
B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，∴B1(a，b，c).]
23．若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________．
l1⊥l2 [将A(4，－1)点的坐标代入ax－y＋1＝0，
11
得a＝－，则kl1·kl2＝－×2＝－1，∴l1⊥l2.]
22
→→
24．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝→→
(2,1)，则AD·AC＝__________.
→→→→→
解析： 由四边形ABCD为平行四边形，知AC＝AB＋AD＝(3，－1)，故AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5.
六、解答题（共3小题，共28分）
25.(本小题满分8分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a
12
＋kb，当实数k为何值时，c∥d 1
解析： 由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.
2当c∥d时，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)． 9
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.
5
26．(10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R. (1)求A∪B，(∁UA)∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
解析：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6} ＝{x|1＜x≤8}．
∵∁UA ＝{x|x＜2，或x＞8}， ∴(∁UA)∩B＝{x|1＜x＜2}．
(2)∵A∩C≠∅，作图易知，只要a在8的左边即可， ∴a＜8.
∴a的取值范围为(－∞，8)．
27．(本小题满分10分)已知圆C的方程是(x－1)＋(y－1)＝4，直线l的方程为y＝
2
2
x＋m，求当m为何值时，
(1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．
[解] (1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上， 即有m＝0.
(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
13
∴d＝
|m|＝＝2，m＝±22. 22
1＋（－1）2
|1－1＋m|
即m＝±22时，直线l与圆相切．
14
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