利用正、余弦定理判断三角形形状

利用正、余弦定理判断三角形形状

作者：肖晓

来源：《学园》2014年第32期

利用正、余弦定理判断三角形形状常以选择、填空题形式出现，多以简单或中等难度的题为主，但学生初学时往往不能很好地运用正弦定理和余弦定理。本人结合自己的教学实践，总结、积累了几种常见的题型，并在教学实践中取得了较好的成效。

判定三角形形状通常有两种方法：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如：a=2R sinA，a2+b2-c2=2ab cosC

等）；（2）利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 ， 等。

第一，当条件中有边角关系，均为一次，且角的关系都是余弦时，一般情况下两种方法都可以，如例1：

例1，在△ABC中， ，则判断△ABC的形状。 方法一：∵

由正弦定理得： ，∴sinA cosA=sinB cosB。 即sin2A=sin2B，又A、B为△ABC的内角。 ∴2A=2B或2A+2B=π 即A=B，或A+B= 。

所以，△ABC为等腰或直角三角形。 方法二：∵

∴a cosA=b cosB，即 。

∴a2（b2+c2-a2）=b2（a2+c2-b2） 即（a2-b2）（c2-a2-b2）=0

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∴a=b或c2=a2+b2。

所以，△ABC为等腰或直角三角形。

规律总结：在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则A=B 或A+B= ；若sin（A-B）=0，则A=B。

第二，当条件中一边是角的余弦，一边是角的正弦，其余是边的关系，则常用方法一，如例2：

例2，在△ABC中， ，则判断△ABC 的形状。

解：∵ ，又由正弦定理： ，得：sinB=cosB，sinC=cosC。 ∴B=45°，C=45°。

所以，△ABC为等腰直角三角形。

规律总结：在△ABC中，若sinB=cosB，则B=45°。 第三，当条件中有平方时常用方法二，如例3、例4： 例3，在△ABC中，sin2A+sin2B 解：Qsin2A+sin2B ∴a2+b2-c2 ∴C为钝角。

所以，△ABC为钝角三角形。

例4，在△ABC中，2B=A+C，b2=ac，则判断△ABC的形状。 解：Q2B=A+C，又A+B+C=π。

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∴B=60°，又 。 ∴ ，∴（a-c）2=0。 即a=c，∴A=C=60°。 所以，△ABC为等边三角形。 〔责任编辑：庞远燕〕