考研数学一（线性代数）模拟试卷107 (总分58, 做题时间90分钟) 1. 选择题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1.
设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是( )．
SSS_SINGLE_SEL A |A+B|=|A|+|B| B 若|AB|=0，则A=0或B=0 C |A－B|=|A|－|B|
D |AB|=|A||B|
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:D
解析：(A)、(C)显然不对，设A=，显然A，B都是非零矩阵，但AB=O，所以|AB|=0，(B)不对，选(D)． 2.
设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA) * 等于( )．
SSS_SINGLE_SEL A kA * B k A *
n
C k n－1 A *
D k n(n－1) A *
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:C
解析：因为(kA) * 的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为n－1阶子式，所以(kA) * =k n－1 A * ，选(C)． 3. 设P=，Q为三阶非零矩阵，且PO=O，则( )．
SSS_SINGLE_SEL A 当t=6时，r(Q)=1 B 当t=6时，r(Q)=2 C 当t≠6时，r(Q)=1
D 当t≠6时，r(Q)=2
该题您未回答:х 该问题分值: 2
答案:C
解析：因为Q≠O，所以r(Q)≥1，又由PQ=O得r(P)+r(Q)≤3，当t≠6时，r(P)≥2，则r(Q)≤1，于是r(Q)=1，选(C)． 4.
若向量组α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关，且向量α 4 不可由向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，则下列结论正确的是( )．
SSS_SINGLE_SEL A α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关 B
α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关 C
α 1 ，α 2 ，α 4 线性无关
D
α 1 ，α 2 ，α 4 线性相关
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:B
解析：若α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，因为α 4 不可由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，所以α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，矛盾，故α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，选(B)． 5.
设A是m×n矩阵，且m＞n，下列命题正确的是( )．
A A的行向量组一定线性无关
B 非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多组解 C
A T A一定可逆
D ATA可逆的充分必要条件是r(A)=n 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:D
解析：若A T A可逆，则r(A T A)=n，因为r(A T A)=r(A)，所以r(A)=n；反之，若r(A)=n，因为r(A T A)=r(A)，所以A T A可逆，选(D)． 6.
若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)(14)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解以上命题正确的是( )．
SSS_SINGLE_SELSSS_SINGLE_SEL A (1)(2) B (1)(3) C (2)(4)
D (3)(4)
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:B
解析：若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n－r(A)≤n－r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选(B)． 7.
设三阶矩阵A的特征值为－1，1，2，其对应的特征向量为α 1 ，α 2 ，α
3 ，令P=(3α 2 ，－α 3 ，2α 1 )，则P －1 AP等于( )． SSS_SINGLE_SEL A B C
D
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:C
解析：显然3α 2 ，－α 3 ，2α 1 也是特征值1，2，－1的特征向量，所以P －1 AP 选(C)． 8.
设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
SSS_SINGLE_SEL A 存在可逆矩阵P，使得P －1 AP=B B
存在正交矩阵Q，使得Q T AQ=B
C A，B与同一个对角矩阵相似
D 存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:D
解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选(D)． 2. 填空题 1. 设A= ，B为三阶矩阵，r(B * )=1且AB=O，则t=_______． SSS_FILL 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：6
解析：因为r(B * )=1，所以r(B)=2，又因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，从而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6． 2.
设λ 1 ，λ 2 ，λ 3 是三阶矩阵A的三个不同特征值，α 1 ，α 2 ，α 3 分别是属于特征值λ 1 ，λ 2 ，λ 3 的特征向量，若α 1 ，A(α 1 +α
2
2 )，A (α 1 +α 2 +α 3 )线性无关，则λ 1 ，λ 2 ，λ 3 满足_______．
SSS_FILL 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：λ 2 λ 3 ≠0
2
解析：令x 1 α 1 +x 2 A(α 1 +α 2 )+x 3 A (α 1 +α 2 +α 3 )=0，即 (x
222
1 +λ 1 x 2 x 2 +λ 1 x 3 )α 1 +(λ 2 x 2 +λ 2 x 3 )＝ 2 +λ 3 x 3 α
222
3 =0，则有 x 1 +λ 1 x 2 +λ 1 x 3 =0，λ 2 x 2 +λ 2 x 3 =0，λ 3 x 3 =0．因为x 1 ，x 2 ，x 3 只能全为零，所以 λ 2 λ 3 ≠0． 3.
f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX的正惯性指数是2，且A 2 －2A=O，该二次型的规范形为_______． SSS_FILL 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：y 1 2 +y 2 2
解析：A 2 －2A=O r(A)+r(2E－A)=4 A可以对角化，λ 1 =2，λ 2 =0，又二次型的正惯性指数为2，所以λ 1 =2，λ 2 =0分别都是二重，所以该二次型的规范形为y 1 2 +y 2 2 ． 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1. 计算 (a i ≠0，i=1，2，…，n)． SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案： =a 1 a 2 …a n－1 +a n D n－1 =a 1 a 2 …a n－1 +a n (a 1 a 2 …a n－2 +a n－1 D n－2 ) =a 1 a 2 …a n－1 +a 1 a 2 …a n－2 a n +a n a n－1 D n－2 2.
设A为n阶矩阵，证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβ T ． SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：设r(A)=1，则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例， 故TT
A=αβ ，显然α，β为非零向量．设A=αβ ，其中α，β为非零向量，则A为非零矩阵，于是r(A)≥1，又r(A)=r(αβ T )≤r(α)=1，故r(A)=1． 3.
设α 1 ，α 2 ，…，α n 为n个n维列向量，证明：α 1 ，α 2 ，…，α n 线性无关的充分必要条件是 SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：令A=(α 1 ，α 2 ，…，α n )，A T A r(A)=r(A T A)，向量组α 1 ，α 2 ，…，α n 线性无关的充分必要条件是r(A)=n，即r(A T A)=n或|A T A|≠0，从而α 1 ，α 2 ，…，α n 线性无关的充分必要条件是 4.
设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又B=求方程组AX=O的通解． SSS_TEXT_QUSTI 且AB=O，
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：由AB=O得r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1． (1)当k≠9时，因为
r(B)=2，所以r(A)=1，方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取B的第1、3两列，故通解为 (k 1 ，k 2 为任意常数)； (2)当k=9时，r(B)=1，1≤r(A)≤2， 当r(A)=2时，方程组AX=0的通解为 当r(A)=1时，A的任意两行都成比例，不妨设a≠0， 任意常数)． 5. 问a，b，c取何值时，(Ⅰ)，(Ⅱ)为同解方程组?
(k 1 ，k 2 为
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：方法一 把(Ⅱ)的通解代入(Ⅰ)，得 方法二 因为(Ⅰ)，(Ⅱ)同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，(Ⅱ)的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关， 出，α 1 =－2β 1 +β 2 +aβ 3 α 1 可由β 1 ，β 2 ，β 3 唯一线性表
a=－1， α 2 可由β 1 ，β 2 ，β 3
b=－2， α 3 可由β 1 ，β
c=4．
唯一线性表出，α 2 =β 1 +β 2 －β 3 2
，β 3 唯一线性表出，α 3 =3β 1 +β 2 +β 3 6.
证明线性方程组有解的充分必要条件是方程组是同解方程组．
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案: 正确答案： =(α 1 ，α 2 ，…，α n )， 方程组(Ⅰ)可写为AX=b，
方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为A T Y=0及 r(A)=r(A b)，从而r(A T )=r Y=0． 若方程组(Ⅰ)有解，则
，又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所，从而以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解； 反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则r(A T )=r r(A)=r(A 7. 讨论方程组b)，故方程组(Ⅰ)有解。
的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案: 正确答案：=－(a+1)(b+2)． (1)当a≠－1，b≠－2时，因为D≠0，所以(2)当a=－1，b≠－2时，方程组的通解为当b≠－
方程组有唯一解，由克拉默法则得1时，方程组无解 当b=－1时，(3)当a≠－1，b=－2
时，解． 设A=方程组的通解为当a≠1时，显然r(A)=2≠r()=3，方程组无
相似于对角阵．求：
SSS_TEXT_QUSTI 8. a及可逆阵P，使得P －1 AP=A，其中A为对角阵；
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：|λE－A|=0 λ 1 =λ 2 =1，λ 3 =－1． 因为A相似于对角
阵，所以r(E－A)=1 (E－A)X=0基础解系为ξ 1 =(0，1，0) T ，ξ 2 =(1，0，1) T ，(－E－A)X=0基础解系为ξ 3 =(1，2，－1) T ，令P=(ξ
－1
AP=diag(1，1，－1)． 1 ，ξ 2 ，ξ 3 )，则P SSS_TEXT_QUSTI 9. A 100 ． 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：P －1 A 100 P=E 10. 设A= 2010
． A 100 =PP －1 =E．
有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：因为A为上三角矩阵，所以A的特征值为λ 1 =λ 2 =1，λ 3 =λ 4
=－1．因为A有四个线性无关的特征向量，即A可以对角化，所以有 于是a=0，b=0． 当λ=1时，由(E－A)X=0得ξ 1 A)X=0得ξ 3 设A= 当λ=－1时，由(－E－
所以P －1 A 2010 P=E，从而A 2010 =E．
的一个特征值为λ 1 =2，其对应的特征向量为ξ 1 =
SSS_TEXT_QUSTI 11. 求常数a，b，c； 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：由Aξ 1 =2ξ 2 ， SSS_TEXT_QUSTI 12. 判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P －1 AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：由|λE－A| =0，得λ 1 =λ 2 =2，λ 3 =－1． 由(2E－
A)X=0，得α 1 由(－E－A)X=0，得α 3 = 显然A可对角化，令 设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ 1 =2是A的特征值，对应特征向量为(－1，0，1) T ．
SSS_TEXT_QUSTI13. 求A的其他特征值与特征向量；
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：因为A的每行元素之和为5，所以有 对应的特征向量为 即A有特征值λ 2 =5，
又因为AX=0有非零解，所以r(A)＜3，从而A有特征
根据不同特征值对应的特征向量正交 值0，设特征值0对应的特征向量为 得 14. 求A． 解得特征值0对应的特征向量为 SSS_TEXT_QUSTI
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：
15.
设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：因为r(A)+r(B)＜n，所以r(A)＜n，r(B)＜n，于是λ=0为A，B公共的特征值。A的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组AX=0的非零解； B的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组BX=0的非零解，A，B有公共的特征向量．
16.
设P为可逆矩阵，A=P T P．证明：A是正定矩阵．
SSS_TEXT_QUSTI有非零解，即 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：显然A T =A，对任意的X≠0，X T AX=(PX) T (以)，因为X≠0且P可逆，所以PX≠0，于是X T AX=(PX) T (PX)=‖PX‖ 2 ＞0，即X T AX为正定二次型，故A为正定矩阵． 17.
设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：A所对应的二次型为f=X T AX， 因为A是实对称矩阵，所以存在正交变换X=QY，使得 f=X AX λ 1 y 1 +λ 2 y 2 +…+λ n y n ，其中λ i ＞0(i=1，2，…，n)， 对任意的X≠0，因为X=QY，所以Y=Q T X≠0， 于是f=λ 1 y 1 2 +λ 2 y 2 2 +…+λ n y n 2 ＞0，即对任意的X≠0有X T AX＞0，所以X T AX为正定二次型，故A为正定矩阵．
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