大学物理典型例题分析

大学物理典型例题分析 第13章 光的干涉

例13-1如图将一厚度为l，折射率为n的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间，设入射光波长为，测量中点C处的光强与片厚l 的函数关系。如果l=0时，该点的强度为I0，试问：

(1)点C的光强与片厚l的函数关系是什么； (2)l取什么值时，点C的光强最小。

解 (1)在C点来自两狭缝光线的光程差为nll 相应的相位差为

l 22(n1)l

C M1 点C的光强为：

M2 I4I1cos22

I04

12时

其中：I1为通过单个狭缝在点C的光强。

例13-1图

I1(2)当

(n1)l(k)k1,2,3,1l(k)2n1点C的光强最小。所以

例13-2如图所示是一种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。其中T1，T2为一对完全相同的玻璃管，长为l，实验开始时，两管中为空气，在 P0 处出现零级明纹。然后在T2管中注入待测气体而将空气排除，在这过程中，干涉条纹就会移动，通过测定干涉条纹的移动数可以推知气体的折射率。

设l=20cm,光波波长589.3nm，空气的折射率1.000276,充一某种气体后，条纹移

L1

S

S1 T1

L2

E S2

P0

T2

P0 

动200条，求这种气体的折射率。

例13-2图

解 当两管同为空气时，零级明纹出现在P0处，则从 S1和S2 射出的光在此处相遇时，光程差为零。T2管充以某种气体后，从S2射出的光到达屏处的光程就要增加，零级明纹将要

资料.

.

向下移动，出现在Po处。如干涉条纹移动N条明纹，这样P0处将成为第N级明纹，因此，充气后两光线在 P0 处的光程差为

n2ln1l

所以 n2ln1lN 即 代入数据得

n2Nn1l

200589.3103n21.0002761.0008650.2

例13-3. 在双缝干涉实验中，波长=5500Å 的单色平行光垂直入射到缝间距

a=210-4m的双缝上，屏到双缝的距离 D = 2m． 求：

（1）中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距;

(2)用一厚度为 e=6.610-6m、折射率为 n=1.58 的玻璃片覆盖一缝后,零级明纹将移到原来的第几级明纹处 ?

D解:(1) 因为相邻明（暗）条纹的间距为a，共20个间距

所以

x20D0.11ma

（2）覆盖玻璃后,零级明纹应满足:

r2(r1e)ne0

设不盖玻璃片时,此点为第 k 级明纹，则应有

r2r1k

所以 (n1)ek

k(n1)e6.967

零级明纹移到原第 7 级明纹处.

例13-4薄钢片上有两条紧靠的平行细缝，用波长 =5461Å 的平面光波正入射到钢片上。屏幕距双缝的距离为 D =2.00m ，测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为  x =12.0mm.，

(1)求两缝间的距离。

(2)从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条明条纹，共经过多大距离？ (3)如果使光波斜入射到钢片上，条纹间距将如何改变？ 解 (1)

xd2kDd 2kdx

此处 k5

资料.

.

(2)共经过20个条纹间距，即经过的距离

(3)不变。

d10D0.910mmx

l20D24mmd

例13-５如图波长550nm的光线垂直入射在折射率n31.5照相机镜头上，其上涂了一层折射率n21.38的氟化镁增透膜，问：若在反射光相消干涉的条件中取 k=1，膜的厚度为多少？此增透膜在可见光范围内有没有增反？

解 因为n1相消的条件是：

n2n3，所以反射光经历两次半波损失，所以无半波损失，反射光相干

2n2d(2k1)2

代入k =1和n2求得：

33550109d4n241.38

2.982107m

此膜对反射光相干相长的条件：

2n2dk 将d代入 k1k21855nm 2412.5nm

k33275nm

n1=1 波长412.5nm的可见光有增反。

n2=1.38 d  n3=1.5 BASiSiO2膜

例13-5图

例13-6图

SiO2 的薄膜，为了测量薄膜厚度，将它 例13-6.在 Si 的平面上形成了一层厚度均匀的

的一部分腐蚀成劈形（示意图中的 AB 段）。现用波长为 600.0nm 的平行光垂直照射，观察反射光形成的等厚干涉条纹。在图中 AB 段共有 8 条暗纹，且 B 处恰好是一条暗纹，求薄膜的厚度。（ Si 折射率为 3.42， SiO2 折射率为 1.50 ）

解：上下表面反射都有半波损失，计算光程差时不必考虑附加的半波长，设薄膜厚度为 e。

资料.

.

B处暗纹有：

2ne(2k1),2

k0,1,2

B 处第 8 条暗纹对应上式 k7

例13-７为了测量金属细丝的直径，把金属丝夹在两块平玻璃之间，形成劈尖，如图所示，如用单色光垂直照射 ，就得到等厚干涉条纹。测出干涉条纹的间距，就可以算出金属丝的直径。某次的测量结果为：单色光的波长589.3nm，金属丝与劈间顶点间的距离L=28.880mm，30条明纹间得距离为4.295mm,求金属丝的直径D？

解 30条明纹29个间距，相邻两条明纹间的间距为

e(2k1)1.5103mm4n

l4.295mm29

其间空气层的厚度相差2，于是

2

其中为劈间尖的交角，因为很小，所以

lsinsintgD代入数据得

DL

Ll2

CRD

L 例13-7图

MN

ro例13-8图

e

D28.880101589.31094.295103229

30.05746mm

例13-8在牛顿环实验中用紫光照射，借助于低倍测量显微镜测得由中心往外数第 k 级

资料.

.

33r3.010mr5.010m，平凸透kk16明环的半径，径，k级往上数第16个明环半径

镜的曲率半径R=2.50m。求：紫光的波长？

解 根据明环半径公式：

M1rkAM2(2k1)R22(1)

rk16B2(k16)1Rrk216rk216R

(2)

例13-9图

(5.0103)2(3.0103)24.0107m162.50

以其高精度显示光测量的优越性。

例13-9在迈克耳孙干涉仪的两臂中分别引入 10cm长的玻璃管 A、B ，其中一个抽成真空，另一个在充以一个大气压空气的过程中观察到107.2 条条纹移动，所用波长546nm。

求:空气的折射率？

解：设空气的折射率为n,两臂的光程差为

2nl2l2l(n1)

相邻条纹或说条纹移动一条时，对应光程差的变化为一个波长，当观察到107.2 条移过时，光程差的改变量满足：

2l(n1)107.2

n107.211.00029272l

例13-10如图所示,牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有一小空气缝隙e0，现用波长为

的单色光垂直照射，已知平凸透镜的曲率半径为 R，求反射光形成的牛顿环的各暗环

半径。

Rre0例13-10图

e0例13-10解图

e

解：设某暗环半径为 r，由图可知，根据几何关系，近似有

r2e2R(1)

资料.

.

再根据干涉减弱条件有

2e2e01(2k1)22(2)

式中 k 为大于零的整数,把式(1)代入式(2)可得

rR(k2e0) k为整数,且

k2e0

例13-11利用牛顿环的条纹可以测定平凹球面的曲率半径，方法是将已知半径的平凸透镜的凸球面放置在待测的凹球面上，在两球面间形成空气薄层，如图所示。用波长为  的平行单色光垂直照射，观察反射光形成的干涉条纹，试证明若中心 o 点处刚好接触，则第

k个暗环的半径rk与凹球面半径 R2，凸面半径 R1(R1rk2R1R2kR2R1(k1,2,3)

R2)及入射光波长的关系为:

解：如图所示，第 k 个暗环处空气薄膜厚度为 e

ee1e2

由几何关系可得近似关系：

rk2rk2e1e22R1, 2R2

2O第k个暗环的条件为：

R2O1R1(2k1),22即 2ek

12ek0,1,2,

e2例13-11图

erk2112k2R1R2

rk2kR1R2R2R1 得证。

大学物理典型例题分析 第14章 光的衍射

例14-1水银灯发出的波长为546nm的绿色平行光，垂直入射于宽0.437mm的单缝缝后放置一焦距为40cm的透镜，试求在透镜焦面上 出现的衍射条纹中央明纹的宽度。

解:两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹宽度，对第一级暗条纹（k=1）求出其衍射角

asin1 式中1很小

资料.

.

1sin1中央明纹角宽度为

a 212a

2fa

透镜焦面上出现中央明纹的线宽度

x2ftg12f125461090.41.0103m30.43710

中央明纹的宽度与缝宽a成反比，单缝越窄，中央明纹越宽。

例14-2在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长 1和 2并垂直入射于单缝上，假如 1 的第一级衍射极小与 2 的第二级衍射极小相重合，试问：

（1）这两种波长之间有何关系？

（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？ 解（1）由单缝衍射的暗纹公式：asin11

asin222

因为1的第一级暗纹与2的第二级暗纹重叠有

12,122

（２） asin1k112k12 (1)

asin2k22 (2）

由式(1)式(2)当 k222k12

即 k22k1时，12 则相应的两暗纹重垒。

例14-3若有一波长为 600nm 的单色平行光，垂直入射到缝宽 a =0.6mm 的单缝上，

缝后有一焦距 f = 40 cm 的透镜。试求： （1）屏上中央明纹的宽度;

（2）若在屏上 P 点观察到一明纹，op=1.4mm 问 P 点处是第几级明纹，对 P 点而言狭缝处波面可分成几个半波带？

解：(1) 两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹的宽度

6107x02f20.4a0.6103

0.8103m0.8mm （２）根据单缝衍射的明纹公式：

asin(2k1)2(1)k1,2,3

资料.

.

在衍射角较小的条件下

sintg联立式（１）式（２）得

xf(2)

kax1f2

0.61031.4103130.461072

所以p点所在的位置为第三级明纹，

由

asin(2k1)2 可知

当k3时，可分成2k17个半波带。

例14-4波长=6000 Å 的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主级大的衍射角为

300且第三级是缺级。

(1) 光栅常数等于多少；

(2) 透光缝可能的最小宽度a等于多少；

(3) 选定了上述d和a后，求在屏幕上可能呈现的主级大的级次。 解 (1)由光栅衍射，主极大公式：

dsink

k260001010dsinsin300 2.4106m

(2)由光栅公式知第三级主级大的衍射角的关系式：

dsin3(1)

由于第三级缺级，对应于最小可能的a，的方向应是单缝衍射第一级暗纹的方向，即

asin由式（1）式（2）可得

(2)

d0.8106m3

（3）由 dsink

a得

kmaxdsin9004

因为第3级缺级，所以实际呈现:k0,1,2.等各级主级大，第4级看不见。 例14-5 一台光谱仪备有1500条/mm ，900条/mm和60条/mm三块光栅，今欲用它测量波长约为 710-4 mm的红光波长 ，选用那块光栅比较合适？

解：由光栅公式 (ab)sink 试用1500条/mm的光栅观察:

资料.

.

absin1mm1500

k1.05kab

sin1，所以k仅能取0，故此光栅不合适。

试用900条/mm的光栅观察:

absin1mm900

k0.63kab

取k1， sin0.63

360，出现第一级主极大位置适合观察，故选此光栅较合适。

试用60条/mm的光栅观察：

absinsin取 k1,取 k2,1mm60 k0.042kab k0.042kab

sin10.042,120

sin20.084,24.80.

条纹间距太小，不适合。

例14-6用每毫米刻有500条栅纹的光栅，观察钠光谱线，589.3nm,问： (1)平行光线垂直入射时，最多能看见第几级条纹？总共有多少条条纹？ (2)平行光线以入射角30入射时，最多能看见第几级条纹？总共有多少条条纹？ (3）由于钠光谱线实际上是波长1589.0nm及2589.6nm,两条谱线的平均波长，求在正入射时最高级条纹将此双线分开的角距离及在屏上分开的线距离。设光栅后透镜的焦距为2m.。

解（1）根据光栅方程 (ab)sink

0可见k的可能最大值相应于，sin1

按题意知，光栅常数为

kabsin

ab代入数值得

1mm2106m500

资料.

.

2106k3.49589.310

k只能取整数，故取k=3,即垂直入射时能看到第三级条纹，可以看到:-3,-2,-1,0,1,2,3共7

条明纹。

（2）如平行光以i 角入射时，由光程差的计算公式，光程差为:

(ab)(sinsini)

其中衍射角入射角i为代数量， 斜入射时的光栅方程为:

22

(ab)(sinsini)kk0,1,2

同样，k的可能最大值相应于 sin1，

0在O点上方观察到的最大级次为k1，取90得

k1(ab)(sin900sin300)1.7

2106(10.5)589.3109

取 k11

0而在o点下方观察到的最大级次为k2，取90得

00(ab)sin(90)sin30k2

(ab)(10.5)5.099589.310

取 k25

所以斜入射时，总共有5,4,3,2,1,0,1，共７条明纹。

（3）对光栅公式两边取微分

(ab)coskdkkd

波长为及d的第k级的两条纹分开的角距离为

dkkd(ab)cosk

光线正入射时，最大级次为第3级，相应的角位置3为

9k13589.3103sin()sin()ab2106

16207

3(589.3589.0)109d32106cos6207 所以，

1.93103rad

钠双线分开的线距离

资料.

.

dx3fd321.93103m3.86mm

例14-7一双缝，缝距d=0.40mm，两缝宽度都是a=0.08mm，用波长为=4800Å的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f =2.0m 的透镜，求：

(1)在透镜焦平面处的屏上双缝干涉条纹的间距x； (2)在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目。 解：（1）双缝干涉第k级亮纹条件：

dsink 第k级亮纹在屏上的位置：

xkftgfsinf相邻亮纹的间距：

kd

xxk1xkfd

2.4103m2.4mm

单缝衍射中央亮纹包迹内，可能有主极大的数目为： 中央亮纹宽度：

x0f224103ma

x0111可能有主极大的数目为： x

d0.405又因 a0.08

所以：双缝衍射±5级主极大缺级。

在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目为：

N9,即 k0,1,2,3,4。

3例14-8一衍射光栅,每厘米有200条透光缝,每条缝宽为a210cm,在光栅后放一焦

距f1m的凸透镜，现以6000A的单色平行光垂直照射光栅，求：

(1)透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少? (2)在该宽度内,有几个光栅衍射主极大? 解 单缝衍射暗纹的条件：

asin2k2

xf

tgsinxf

单缝衍射第１级暗纹的条件：asin1

即

asin1atg1ax1f

资料.

.

x1fa0.03m

中央明条纹宽度为: x02x10.06m (2)光栅衍射主极大公式: (ab)sink

即

(ab)xkf k(ab)x12.5f

当xx10.03m

k只能取整数，取k2，即第2级主极大。

k0,1,2等５个主极大。

例14-9波长为 500nm 的单色光，以 30°入射角照射在光栅上，发现原在垂直入射时

的中央明条纹的位置现在改变为第二级光谱的位置，求：

（1）此光栅每 1cm 上共有多少条缝？ （2）最多能看到几级光谱？共可看到几条谱线？ 解（1）斜入射时光栅公式 (ab)(sinsini)k 原中央明纹处衍射角 0

0第二级光谱 k2,且已知i30则有

(ab)(sin0sin300)2

ab240sin30

2106m

1102N5000条cmab

0（2）令衍射角90，得

k(ab)(sin900sin300)k6，看不见；

6

900,取 kmax5

0同理令90,得零级亮纹下方的最高级次：

k00(ab)sin(90)sin302

900,k2，该级条纹看不见；

取 kmax1

资料.

.

所以可以看见：0,1,2,3,4,5,共7条谱线。

例14-10以波长0.11nm的X射线照射岩盐晶面，实验测得在X射线与晶面的夹角(掠射

角)为11°30’时获得第一级极大的反射光。问：

（1）岩盐晶体原子平面之间的间距d为多大？

（2）如以另一束待侧的X射线照岩盐晶面，测得 X 射线与镜面的夹角为17°30’时 获得第一级极大反射光，则待测 X 射线的波长是多少？

解（1） 2dsink

k1,2dsin

d2sin0.110.276nm2sin11030

（2）

2dsin2dsink

22.76109sin17030

1.6561010m

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第15章 光的偏振

例15-1若要使振幅为A0振动方向如图的线偏振光的光振动方向旋转90°，最少需要几 块偏振片？这些偏振片怎样放置才能使透射光的光强最大。

解 至少需要两块偏振片p1和p2如图放置才能使线偏振光的光振动方向旋转90°，

900

A0 透过偏振片p1的振幅为

 p1  p2 A1A0cos

透过偏振片p2的振幅为

例15-1图

A2A1cos

A0sin22

0当sin21时，透射光的振幅最大，45，

002因为光强 IA，所以当45时，即偏振片p1与振幅A０成45角时才能使透

射光强最大。

例15-2为了对光强进行调制，在两偏振方向正交的起偏器M和检偏器N之间，插入一片以角速度旋转的理想偏振片p，入射自然光强为I0，试求由系统出射的光强是多少？

解 设t0时，旋转的理想偏振片

p和起偏器M的夹角0，

• • • 资料. MNP例15-2图

.

则t时刻的夹角为t，偏振片p和

()检偏器N之间之间的夹角则为2，

所以t时刻透过偏振片Ｐ的光强为

Ip系统出射的光强为

I0cos2t2

IIIpcos2(t)0cos2tsin2t22 I0sin22t8

0

0

0

I0(1cos4t)16

0

t=0,90,180,270时，输出光强为零。

I0tt=450,1350,2250,3150时，输出光强为8。

t每旋转偏振片p一周，输出光强有“四明四零”。

例15-3在两个偏振化方向正交的偏振片之间插入第三个偏振片。

(1) 当最后透过的光强为入射自然光强的1/8时，求插入第三个偏振片偏振化的方向； (2) 若最后透射光强为零，则第三个偏振片怎样放置？

解 (1)设插入的第三个偏振片偏振化方向与第一个偏振片偏振化方向的夹角为，则

与第三个偏振片偏振化方向的夹角为（2光经过三个偏振片后的光强为：

）,设入射线自然光的强度为I0

I0Icos2cos2()0228sin2 II08 已知

I解得 sin21,（2）同理

450

其中：为插入的偏振片与第一个偏振片之间偏振化方向的夹角。

II0cos2cos2()022

解得

sin20,00,或2

例15-4一束光是自然光和偏振光的混合光，让它垂直通过一偏振片，若以此入射光束为轴，旋转偏振片时，测得透射光强强度的最大值是最小值的5倍，求入射光束中，自然光与线偏振光的光强比值。

资料.

.

解：设入射光束中自然光强为I0，线偏振光的光强为I1，则垂直通过一偏振片后，透射

I0光强最大时，线偏振光全通过，透过偏振片的自然光强度始终为2

ImaxI0I12

透射光强最小时，线偏振光被偏振片完全吸收

IminI02

5Imax5IminI02 又因为

I05I1I02 即 2I01I所以 12

例15-5已知方解石晶体的 o 光和 e光的折射率分别为no=1.658，ne=1.486 今将该晶体做成波晶片，使光轴与晶面平行，用波长为 的振动方向与光轴成

589.3nm 的单色偏振光入射，光

= 450，使 Ao=Ae外，/2，光程差为

/4，

= 450角，若使出射光是圆偏振光，问这镜片的最小厚度是多少？

解：要使透过波晶片的光是圆偏振光，除满足题中给的条件 还要求晶片有特定的厚度 d，从而使 o 光和 e 光的相位差为 即对波长为

589.3nm 的光而言是四分之一波片。

(none)dd4

4(none)0.86m则晶片的最小厚度为：0.86m

资料.